Aufgabe:
Seien \( V \) ein Vektorraum und \( U, W \) Unterräume von \( V \) mit \( V=U+W \) Weiter seien \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \in U^{m} \) und \( \left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \in W^{n} . \) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
a) Ist \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \) eine Basis von \( U \) und \( \left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) eine Basis von \( W \), so ist \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) eine Basis von \( V \)
b) Ist \( \operatorname{dim} V=m+n \) und \( L\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right)=U \) sowie \( L\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right)=W \), so ist \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) eine Basis von \( V \)
c) Ist \( L\left(u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n}\right)=V \), so ist \( U=L\left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \) sowie \( W= \) \( L\left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \)
d) Ist \( U \cap W=\{0\} \), und sind \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}\right) \) und \( \left(w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) linear unabhängig, so ist auch \( \left(u_{1}, \ldots, u_{m}, w_{1}, \ldots, w_{n}\right) \) linear unabhängig.
