Ich denke, gemeint ist, dass der Parameter t den Wert -1 hat. Trotzdem löse ich die Aufgabe erstmal für einen allgemeinen Parameter, und setze diese Vermutung erst zum Schluss ein.
Zunächst muss der Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmt werden: er übernimmt die Rolle des Aufpunkts (auch Stützvektor genannt) der Ebene.
Dafür setzt man die beiden Geradengleichungen gleich und betrachtet die einzelnen Komponenten:
(2, 1, -1) + r(1, 2, 2) = (9, 12, -2) + s(-1, t, 3)
Daraus folgt das Gleichungssystem:
2 + r = 9 - s
1 + 2r = 12 + ts
-1 + 2r = -2 + 3s
Es ist hierbei sehr hilfreich, dass man die beiden Gleichungen (I) und (III) verwenden kann, um r und s zu bestimmen. Es gibt damit nur für ein ganz bestimmtes t überhaupt einen Schnittpunkt, das gestattet es, die oben erwähnte Vermutung zu bestätigen.
Betrachten wir also zunächst
2 + r = 9 - s
-1 + 2r = -2 + 3s
Schaffen wir erstmal alle Variablen auf eine Seite
r + s = 7
2r - 3s = -1
Nimmt man die obere Gleichung mal 3:
3r + 3s = 21
2r - 3s = -1
So kann man beide Gleichungen addieren, damit s völlig herausfällt:
5r = 20 |:5
r = 4
Damit ergibt sich durch einsetzen in die zweite Gleichung:
2*4 - 3s = -1
-3s = -9
s = 3
Setzt man nun diese beiden Werte in die zweite Gleichung des kompletten Systems ein, so ergibt sich:
1 + 2*4 = 12 + t*3
-3 = t*3
t = -1
Sodass die beiden Geraden nur für t = -1 überhaupt einen Schnittpunkt haben. Ansonsten sind sie windschief!
Ich setze daher nun t = -1 fest und rechne weiter.
Da nun r und s bekannt sind kann der Schnittpunkt durch Einsetzen in eine der Geradengleichungen ermittelt werden:
OS = (2, 1, -1) + 4*(1, 2, 2) = (6, 9, 7)
Die Ebene ergibt sich nun in der Parameterform durch das Hinzufügen von mit einem Parameter versehenen Richtungsvektoren. Diese Richtungsvektoren sind dabei mit denen der Geraden identisch, sodass die Lösung lautet:
E: x = (6, 9, 7) + r(1, 2, 2) + s(-1, -1, 3)
