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die Aufgabe lautet

Geben Sie eine Koordinatengleichung der durch die Geraden g und h (t = -1) gebildeten Ebene E an.

g: x= ( 2,1,-1) + r(1,2,2)

ht : x= ( 9,12,-2) + s(-1,t,3)
von
Was meinst du denn mit ht = -1?

1 Antwort

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Beste Antwort

Ich denke, gemeint ist, dass der Parameter t den Wert -1 hat. Trotzdem löse ich die Aufgabe erstmal für einen allgemeinen Parameter, und setze diese Vermutung erst zum Schluss ein.

Zunächst muss der Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmt werden: er übernimmt die Rolle des Aufpunkts (auch Stützvektor genannt) der Ebene.

Dafür setzt man die beiden Geradengleichungen gleich und betrachtet die einzelnen Komponenten:

(2, 1, -1) + r(1, 2, 2) = (9, 12, -2) + s(-1, t, 3)

Daraus folgt das Gleichungssystem:

2 + r = 9 - s
1 + 2r = 12 + ts
-1 + 2r = -2 + 3s

Es ist hierbei sehr hilfreich, dass man die beiden Gleichungen (I) und (III) verwenden kann, um r und s zu bestimmen. Es gibt damit nur für ein ganz bestimmtes t überhaupt einen Schnittpunkt, das gestattet es, die oben erwähnte Vermutung zu bestätigen.

Betrachten wir also zunächst

2 + r = 9 - s
-1 + 2r = -2 + 3s

Schaffen wir erstmal alle Variablen auf eine Seite

r + s = 7
2r - 3s = -1

Nimmt man die obere Gleichung mal 3:

3r + 3s = 21
2r - 3s = -1

So kann man beide Gleichungen addieren, damit s völlig herausfällt:

5r = 20  |:5

r = 4

Damit ergibt sich durch einsetzen in die zweite Gleichung:

2*4 - 3s = -1

-3s = -9

s = 3

Setzt man nun diese beiden Werte in die zweite Gleichung des kompletten Systems ein, so ergibt sich:

1 + 2*4 = 12 + t*3

-3 = t*3

t = -1

Sodass die beiden Geraden nur für t = -1 überhaupt einen Schnittpunkt haben. Ansonsten sind sie windschief!
Ich setze daher nun t = -1 fest und rechne weiter.

Da nun r und s bekannt sind kann der Schnittpunkt durch Einsetzen in eine der Geradengleichungen ermittelt werden:

OS = (2, 1, -1) + 4*(1, 2, 2) = (6, 9, 7)

Die Ebene ergibt sich nun in der Parameterform durch das Hinzufügen von mit einem Parameter versehenen Richtungsvektoren. Diese Richtungsvektoren sind dabei mit denen der Geraden identisch, sodass die Lösung lautet:

E: x = (6, 9, 7) + r(1, 2, 2) + s(-1, -1, 3)

 

von 10 k
Danke für die Lösung, dennoch habe ich die Aufgabe selber gelöst und bin auf :

Koodinatengleichung: 8x1 - 5x2 + x3 = 10 gekommen

E: x= (2,1,-1) + r(1,2,2) + s(-1,-1,3)
Ja, das ist dieselbe Ebene, was man sehr leicht erkennt:

1.) Die Richtungsvektoren sind die gleichen.

2.) Der Aufpunkt (6, 9, 7) meiner Ebenengleichung erfüllt deine Gleichung in Koordinatenform.

Damit sind die Ebenen identisch.

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