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a) Zeigen Sie, dass die Menge
$$ G=\left\{\left(\begin{array}{ll} {1} & {a} \\ {0} & {1} \end{array}\right) | a \in \mathbb{R}\right\} $$
mit der gewöhnlichen Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

b) Ist diese Gruppe abelsch? 


Wie zeige ich das diese Menge eine Gruppe bildet und abelsch ist?

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Um zu zeigen dass dies eine Gruppe ist müssen folgende Axiome erfüllt sein:

- Assoziativität (Klammern setzen) als Beispiel: (A*B)*C=A*(B*C)
- Es existiert ein neutrales Element a,e ∈ G  mit a*e = a
- Zu jedem Element existiert ein Inverses a-1 ∈ G, mit a*a-1 = e

Damit die Gruppe eine abelsche Gruppe ist muss ein weiteres Axiom gelten, und zwar muss das Kommutativgesetz(vertauschen) gelten, also a*b = b*a

Also um die Aufgabe zu lösen musst du nur diese Axiome prüfen

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und besonders wichtig:

wenn du zwei Matrizen von der gegebenen Art multiplizierst,

musst du schauen, dass auch wieder eine solche entsteht

(Abgeschlossenheit nennt sich das.)

Und wie wäre der Ansatz bei dieser Aufgabe, wie stelle ich es auf?

Du betrachtest hier nur den Fall der Multiplikation.

Die Assioziativität kann man sich anhand eines Beispiels der reellen Zahlen deutlich machen.

(1 * 2) * 3 = 1 * (2 * 3)
    2     * 3 = 1 *     6
             6 = 6

Das neutrale Element der Multiplikation bei Matrizen ist die Einheitsmatrix. Sprich eine Matrix mit den Diagonaleinträgen 1.
In den reellen Zahlen ist das die 1, nämlich 6 * 1 = 6

Das Inverse Element ist die Inverse Matrix, wenn du die multiplizierst erhältst du die Einheitsmatrix
Dies wäre in den reellen Zahlen 6 * 1/6 = 1


Das musst du jetzt nur noch auf dein Problem übertragen, ihr habt sicherlich ähnliche Beispiele im Unterricht oder in der Vorlesung besprochen.

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Gefragt 22 Nov 2016 von Gast

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