Bruchgleichung lösen und Definitionsmenge bestimmen

Question

Löse die Gleichung:

$$\frac { 24 x ^ { 2 } - 5 x - 26 } { ( 6 x + 4 ) ( 3 x - 2 ) } = \frac { 4 x - 5 } { 3 x - 2 } - \frac { 2 x + 3 } { 2 ( 3 x + 2 ) }$$

Bestimme Definitionsmenge und Lösungsmenge.

Mein Hauptnenner ist bei mir also selbst gerechnet 2(3x+2)(3x-2), aber beim nächsten Schritt habe ich keine Ahnung.

Answer 1

$$\begin{array} { l } { \frac { 24 x ^ { 2 } - 5 x - 26 } { ( 6 x + 4 ) ( 3 x - 2 ) } = \frac { 4 x - 5 } { 3 x - 2 } - \frac { 2 x + 3 } { 2 ( 3 x + 2 ) } } \\ { \frac { 24 x ^ { 2 } - 5 x - 26 } { ( 6 x + 4 ) ( 3 x - 2 ) } = \frac { ( 6 x + 4 ) ( 4 x - 5 ) } { ( 6 x + 4 ) ( 3 x - 2 ) } - \frac { ( 2 x + 3 ) ( 3 x - 2 ) } { ( 6 x + 4 ) ( 3 x - 2 ) } } \\ { \Rightarrow 24 x ^ { 2 } - 5 x - 26 = ( 6 x + 4 ) ( 3 x - 5 ) - ( 2 x + 3 ) ( 3 x - 2 ) } \\ { 24 x ^ { 2 } - 5 x - 26 = 24 x ^ { 2 } + 16 x - 30 x - 20 - 6 x ^ { 2 } + 4 x - 2 ) } \\ { - 5 x - 26 = - 6 x ^ { 2 } - 19 x - 14 } \\ { x ^ { 2 } + \frac { 7 } { 3 } x - 2 = 0 } \end{array} \\ \begin{array} { l } { x _ { 1 / 2 } = - \frac { 7 } { 6 } \pm \sqrt { \frac { 49 } { 36 } + 2 } = \frac { - 7 } { 6 } \pm \sqrt { \frac { 121 } { 36 } } } \\ { = \frac { - 7 \pm 11 } { 6 } } \\ { x _ { 1 } = \frac { 2 } { 3 } } \\ { x _ { 2 } = - 3 } \end{array}$$

Nun muss aber noch überprüft werden, dass die Gleichung für die entsprechenden Werte überhaupt definiert ist:

Die Anfangsgleichung ist für x = ±2/3 nicht definiert, weil dann einer der Nenner 0 ergibt.

Die Lösung lautet also x = -3