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"Och man, wofür braucht man das denn später.."

So lautete bei mir im Unterricht die Reaktion mancher Mitschüler im Bezug auf das Thema Kurvendiskussion. Viele sagen, man bräuchte Mathematik kaum im späteren Leben. Hier möchte ich zeigen:

•Wofür man die Untersuchung von Funktionen benötigt

•Wie man die "wichtigen Punkte" (dazu später) deutet

•Wie man eine komplette Kurvendiskussion durchführt 

[Grundlagen sind: 

Ableitungen bilden; Polynomdivision/Hornerschema; p-q- Formel; Substitution; Auflösen von Gleichungen]

1.) Was soll eine Kurvendiskussion?

"Unter Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung des Graphen einer Funktion auf dessen geometrische Eigenschaften, wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte und gegebenenfalls noch Sattelpunkte." laut Wikipedia. 

Anders ausgedrückt: Durch Berechnung von Punkten, die auf dem Graphen liegen, kann man Informationen über diese herausfinden und mit ihnen den Graphen interpretieren/deuten.

Damit sind wir bei Punkt 2

2.) Was mach ich nachdem ich die Punkte berechnet habe.(siehe unten)  + 3.) Wie führe ich die Kurvendiskussion überhaupt durch?


Bild Mathematik 


$$ g(x)=\quad -\frac { 2 }{ 5 } { x }^{ 4 }+\frac { 17 }{ 5 } { x }^{ 3 }-\frac { 44 }{ 5 } { x }^{ 2 }+\frac { 36 }{ 5 } x $$


"Diese Funktion und deren Graph spiegelt die Aufzeichnungen einer Wetterstation während einer regnerischen Nacht wieder. Die x Achse steht für die Zeit in Stunden und g(x) gibt die gemessene Niederschlagsmenge in mm/m² an."


Von dieser Funktion werden nun 3. Ableitungen gebildet (Das Ableiten ist eines der wichtigsten Teilschritte, man braucht es unbedingt):

Schritt 1 => Ableitungen bilden

g'(x)=\frac { -8 }{ 5 } x³+\frac { 51 }{ 5 } x²-\frac { 88 }{ 5 } x+\frac { 36 }{ 5 }   --> Steigungsfunktion,für die Berechnung der Extremstellen

g''(x)=\frac { -24 }{ 5 } x²+\frac { 102 }{ 5 } x-\frac { 88 }{ 5 } x  -->für die Berechnung der Wendepunkte

g'''(x)=\frac { -48 }{ 5 } x+\frac { 102 }{ 5 } -->für die Definierung des Wendepunkts 


Schritt 2=> y=f(0) setzen ->x=0 einsetzen und y-Achsenabschnitt herausfinden 

g(x)=0

g'(x)=36/5

g''(x)=-88/5

g'''(x)=102/5


Diese Punkte stehen für (0|y) 

Schritt 3=>Nullstellen -> g(x)= 0 setzen -> alle x finden, für die dies gilt --> Nullstelle bei (Xo | g(Xo))

(Hierbei benötigt man Kenntnisse über die Polynomdivision/Hornerschema und über das Auflösen nach x im Allgemeinem)


g(x)=0

   - Eine Nullstelle raten. Bsp. 2 --> in Linearfaktorschreibweise (x-2)

   - Nun Mithilfe der Polynomdivision/Hornerschema andere Nullstellen finden 

Bild Mathematik


Nun haben wir eine weiter Funktion erhalten. Diese ist immer noch nicht dazu geeignet die p-q Formel anzuwenden.

Daher erneut die Polynomdivision/Hornerschema benutzen. Die erratene Nullstelle (x-2) kann weiter verwendet werden. 

Bild Mathematik


0=-2/5x²+9/5x ist prima geeignet die pq-Formel anzuwenden, jedoch muss zuerst durch -2/5 geteilt werden, um das x² alleine stehen zu lassen.


0=-2/5x²+9/5x |:-2/5

0=x²-4,5x 

*pq-Formel*

0=-p/2±√(p/2)²-q

Man erhält als x1=0.  (Durch Ausklammern von einem x kann dies auch begründet werden.)

Dies in die Grundfunktion einsetzen--> (0|0) vgl. Abbildung 1

x²-4,5x=0 kann auch umgestellt werden

x²-4,5x=0 |+4,5x

x²=4,5x    |:x

x2=4,5 -->(4,5|0)

Nullstellen sagen, wo der Graph die x-Achse schneidet. Durch Gleichsetzen von g(x) mit Null wird dies erreicht


Teil 2 hier: https://www.mathelounge.de/206913/mathe-artikel-kurvendiskussion-crash-kurs-teil-2

von 2,1 k

PS: Die mit dem Formel- Editor erstellten Gleichungen werden  nicht angezeigt. Auch beim 2 Teil

Bitte nochmals hochladen, was genau wo fehlt.

Wie meinst du das mit dem Formel-Editor.

Du speicherst das Bild deiner Formeln auf deinen Bildschirm. Danach noch hochladen und immer warten, bis das Bild im Editor sichtbar wird.

Es kann aber sein, dass du die maximale Zeichenzahl überschreitest. 

Dann bitte das hier und den anderen Teil komplett löschen, ich lade es erneut hoch

Ich habe das jetzt mal 'gemeldet'. Sobald 2 Meldungen vorhanden sind, verschwindet dein Artikel, bis der admin schaut, was los ist.

Kann ich es nicht selbst löschen ..?

Nein. 'melden' kann man nur, was man nicht geschrieben hat. Du z.B. gern meinen Kommentar. 

2 Antworten

+1 Daumen

"Och man, wofür braucht man das denn später.."

So lautete bei mir im Unterricht die Reaktion mancher Mitschüler im
Bezug auf das Thema Kurvendiskussion. Viele sagen, man bräuchte
Mathematik kaum im späteren Leben.

Die Mathematik ist für mich ein, von einfachen Bausteinen  ausgehend,
immer größer werdendes Gebäude

Wenn a dann b, oder aus a folgt b usw.

Durch die Beschäftigung mit der Mathematik  werden auch die
Verbindungen im Gehirn entsprechend richtig verschaltet und
das logische Denken gefördert.
von 91 k 🚀

Werde ich in der neuen Version einfügen, leider konnte der 2 Teil nicht geladen werden.


Bitte "meldet" die Beiträge, sodass ich sie neu reinstellen kann

0 Daumen

Hallo Luis, Du hast Dir sehr große Mühe gegeben.

Leider ist in Deinem Beitrag Einiges daneben gegangen.

z.B. Die ganze Rechnerei mit den Brüchen (z.B bei den NULLSTELLEN) ist überhaupt NICHT notwendig.

Wesentlich geschickter wäre es, vorher alles mit 5 zu multiplizieren und schwupps sind alle Brüche weg.

Gilt analog für alle Gleichungen wo 0=....  steht.


Desweiteren, einfach mal durch x zu dividieren ist FALSCH !

Ausklammern und Satz vom Nullprodukt anwenden !


Deine Idee, anderen zu helfen ist gut gemeint, leider ist diese Ausarbeitung dazu NICHT GEEIGNET.

Vielleicht überarbeitest Du das Ganze nochmal und stellst es dann neu ein ?

(Ich nehme an, Du bist Klasse 11 und ihr habt das Thema Kurvendiskussion gerade behandelt ?)

LG M.

von

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