Integral berechnen: ML sagt was anderes

Question

$$\int(3x+2)^2 dx$$

Ich komme auf: $$\frac {1}{9}(3x+2)^3+C$$

Die Musterlösung:

$$3x^3+6x^2+4x+C$$

Problem: Auch wenn ich ausmultipliziere, komme ich nicht auf den gleichen Ausdruck. Wo liegt bitte mein Fehler?

Comments

Was kriegst du beim ausmultiplizieren raus? Leite doch zur Probe einfach ab. Solche Integrale kannst du durch ausmultiplizieren und anschließendes summandenweises Integrieren oder durch Substitution lösen

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gute Idee, wenn ich meine Lösung ableite, komme ich nicht mehr auf die Ursprungsfunktion. Also muss etwas an meinem Ansatz falsch sein, aber ich weiss nicht was, denn bislang funktionierte er ohne Probleme bei solchen verketteten Funktionen. Ich bestimme die äussere Aufleitung und teile durch die innere Ableitung.

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Der Ansatz funktioniert nur, wenn die innere Funktion linear ist! Das ist hier der Fall, aber merk es dir trotzdem bitte!

Wenn ich deine Lösung ausmultipliziere komme ich auf
$$3x^3 +6x^2 +4x + \frac{8}{9} +C$$
und da sich dieser Term nur hinsichtlich einer Konstante von der Musterlösung unterscheidet, ist deine Lösung richtig.

Alternativ kann man das durch Ableiten verifizieren:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\frac{1}{9}(3x+2)^3\right) = \frac{1}{9} \cdot \underbrace{ 3\cdot(3x+2)^2 }_{\text{äußere Ableitung}} \cdot \underbrace{3}_{\text{innere Ableitung}} = (3x+2)^2$$

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Ah, -_-, stimmt ja! Herzlichen Dank! Das hat mich beschäftigt.

Danke schön! (:

Answer 1

f(x) = (3x + 2)² = 9x² + 12x¹ + 4x⁰

F(x) = 9/3 * x³ + 12/2 * x² + 4/1 * x¹ + C = 3 * x³ + 6 * x² + 4x + C

Ich hoffe, das hilft ein wenig :-)

Besten Gruß

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Das hilft sogar sehr, danke! (:

Nur frage ich mich: Wieso komme ich auf meinem Wege nicht auch auf die Lösung? Ich kehre quasi die Operationen der Kettenregel um, bestimme also die "äussere Aufleitung" und teile durch die innere Ableitung.

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Sorry, das ist mir jetzt zu kompliziert :-)

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Hier eine entsprechende Erklärung (2m23s):

Answer 2

(3x+2)²=9x²+12x+4

dann einfach integrieren.

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Danke für Deinen Ansatz, allerdings müsste es ja auf meinem Wege eigentlich auch funktionieren, oder? Es handelt sich ja um eine Verkettung, also bestimme ich die "äussere Aufleitung" und teile durch die innere Ableitung.