Bestimmen Sie die zugehörige Abbildungsmatrix und den Funktionsterm

Question

Aufgabe:

Gegeben sind \( \underline{a}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right], \underline{b}=\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ -1\end{array}\right] \) und eine lineare Abbildung \( \underline{f}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \mathrm{mit} \)

\( \underline{f}(\underline{a})=\underline{e}_{1}, \quad \underline{f}(\underline{b})=\underline{e}_{2}, \quad \underline{f}\left(\frac{1}{10} \underline{e}_{3}\right)=\frac{1}{5} \underline{e}_{3} . \)

\( \left(\underline{e}_{i}\right. \) bezeichnet den \( i \)-ten Einheitsvektor im \( \left.\mathbb{R}^{3}, \quad i=1,2,3 .\right) \)

Bestimmen Sie die zugehörige Abbildungsmatrix \( \underline{\underline{A}_{\underline{f}}} \) und den Funktionsterm \( \underline{f}\left(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]\right) \).


Meine Idee:

\( (1 ~ 0 ~ 0) * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ist = 1 \)

\( (0 ~ 1 ~ 0) * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} ist = 1 \)
\( (? ~ ? ~ 2) * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1/10 \end{pmatrix} ist = 1/5 \)

Laut der Lösung müssten die ? -2 und 2 sein. Wäre nett wenn mir jemand sagen kann wie ich darauf komme.

Answer 1

$$\text{(1)}\quad f(e_1)=f(a-e_3)=f(a)-f(e_3)=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}.$$$$\text{(2)}\quad f(e_2)=f(b+e_3)=f(b)+f(e_3)=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}.$$$$\text{(3)}\quad f(e_3)=2e_3=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}.$$Damit lautet die Abbildungsmatrix$$A_f=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&2&2\end{pmatrix}.$$