Statistik - Quartil bestimmen

Question

Kennwerte der Statistik

Es soll das untere und obere Quartil bestimmt werden

Problem/Ansatz:

so, zum ersten Mal stelle ich hier etwas Verbotenes ein. Mal sehen, was passiert.

Wie soll das untere Quartil bestimmt werden? Ich sehe hier zwei unterschiedliche Ansätze, jeweils rot umrahmt. Einmal wir mit n gerechnet, ein anderes Mal mit n+1. Wie vermittelt man Neulingen diese Thematik? Sorry für die schlechte Auflösung

Comments

Mal sehen, was passiert.

Na, die typographische Erscheinung erinnert an "Lambacher Schweizer" vom Klett Verlag. Doch welches Druckwerk ist es nun genau?

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Das ist das Arbeitsheft Mathematik für die Klassenstufe 10 aus dem Klett-Verlag.

Du weißt, dass der Zentralwert, das 0,5-Quantil ist, welches die 15 Werte in zwei Bereiche teilt.

Nimmt man also 0.5 * 15 = 7.5, dann müsstest du das arithmetische Mittel aus dem 7. und 8. Wert der sortierten Liste nehmen. Das ist jedoch falsch, wie wir wissen.

Nimmt man 0.5 * (15 + 1) = 8, dann würde man den 8. Wert der sortierten Liste nehmen, was dem korrekten Wert entsprechen würde.

Eine schöne Regel ist:

Ist (n + 1) * p eine ganze Zahl, dann nehmen wir den Wert der sortierten Liste, der an dieser Stelle steht. Ist (n + 1) * p eine Zahl zwischen zwei ganzen Zahlen, dann nehmen wir den Mittelwert zwischen den Werten, die an diesen Rangplätzen stehen.

Bei 15 Werten rechnen wir also:

1/4 * (15 + 1) = 4 → Unteres Quartil ist der Wert am 4. Rangplatz

1/2 * (15 + 1) = 8 → Zentralwert ist der Wert am 8. Rangplatz

3/4 * (15 + 1) = 12 → Oberes Quartil ist der Wert am 12. Rangplatz

Answer 1

Es gibt unterschiedliche Definitionen für die Berechnung, siehe etwa https://mathworld.wolfram.com/Quantile.html.

Für Neulinge natürlich etwas problematisch. Ich würde allerdings immer diejenige Variante nehmen, die im Unterricht bzw. Lehrbuch verwendet wird. Dummerweise werden in diesem Arbeitsheft offenbar zwei verschiedene Varianten verwendet, was didaktisch gesehen natürlich völliger Käse ist. Ich würde das \(n+1\) in der Randspalte daher eher als Druckfehler verbuchen, da in Lehrbüchern die Variante mit \(n\) geläufig ist.

Eine didaktische Erklärung könnte in etwa Folgende sein:

Quantile (in diesem Fall Quartile) sollen die sortierten Daten in Teile aufteilen (hier 25 %-Anteile).

Problem in der Praxis: Bei den Daten 1, 9, 15, 28 wäre das untere Quartil zwischen 1 und 9. Wie entscheidet man jetzt konkret, ob der Wert 4 oder der Wert 7 das untere Quartil darstellt? Was rechtfertigt es, ausgerechnet dann den Mittelwert zu nehmen? Man könnte auch den unteren oder den oberen Wert nehmen, also 1 bzw. 9. Diese Problematik führt dazu, dass es sinnvoll ist, unterschiedliche Definitionen je nach Anwendungsbereich und Datenlage zu verwenden. Die Art, wie man zwischen den Werten interpoliert kann also sehr unterschiedlich sein. Das führt dazu, dass verschiedene Berechnungsmethoden durchaus sinnvoll sind.

In Statistik-Software (z.B. R) ist es daher möglich, verschiedene Methoden zur Quantilberechnung heranzuziehen.