Sattelpunkt (0 / 0) -> Funktion punktsymmetrisch?

Question

eine kurze Frage zu einer Funktion die ich herleiten soll.

Ein Teil der Aufgabe ist, dass der Terassenpunkt ( das gleiche wie Sattelpunkt, oder? ) durch 0;0 verläuft.

1.) Terassenpunkt und Sattelpunkt meint das selbe, oder?

2.) Wenn die Funktion durch 0;0 verläuft, dann ist sie "punktsymmetrisch", also hat nur ungerade Exponenten, richtig? Die Formulierung "der Terassenpunkt (0;0" ändert nichts oder? Oder kommt es auch darauf an, an welchem Punkt die Funktion durch den Ursprung geht, damit sie "punktsymmetrisch" ist?

mfG

Answer 1

1.) Terassenpunkt und Sattelpunkt meint das selbe, oder?

2.) Wenn die Funktion durch 0;0 verläuft, dann ist sie "punktsymmetrisch", also hat nur ungerade Exponenten, richtig? Die Formulierung "der Terassenpunkt (0;0" ändert nichts oder? Oder kommt es auch darauf an, an welchem Punkt die Funktion durch den Ursprung geht, damit sie "punktsymmetrisch" ist?

1.)Terassenpunkt und Sattelpunkt meint dasselbe, noch ein Synonym ist der Horizontalwendepunkt.

Dies tritt ein, wenn durch einsetzen von x=0 in die Gleichungen f(x) f'(x) diese auch = 0 werden, f'''(x) jedoch ≠ 0 ist.

2.) Wenn sie durch 0|0 geht ist sie nicht unbedingt punktsymmetrisch. Es besteht auch die Möglichkeit gar keiner Symmetrie oder der Achsensymmetrie. Dabei sind ungerade Exponenten ein Anzeichen für Punktsymmetrie und dementsprechend gerade Exponenten für Achsensymmetrie.

Noch klarer kann das Einsetzen von f(-x)=f(x) sein. Wenn diese beiden dasselbe sind, liegt eine Achsensymmetrie vor.

-f(x)=f(-x) impliziert Punktsymmetrie

Der Ursprungspunkt ist daher unerheblich, da ja auch eine Verschiebung auf der y bzw. x Achse vorliegen könnte. 

Bei weiteren unklaren Sachverhalten gerne melden

Gruß Luis

PS:

Achsensymmetrische Funktion 

Punktsymmetrische Funktion (zentralsymmetrisch)

Comments

Ja wir haben in der Schule gelernt, dass Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten nicht symmetrisch, nur geraden Exponenten achsensymmetrisch und nur ungeraden Exponenten Punktsymmetrisch sind.

Im moment machen wir die Herleitung von Funktionen durch Additionsverfahren, deswegen frage ich, da ich gehört habe, dass wenn die Aufgabe "verläuft durch den Ursprung" enthält, die Funktion punktsymmetrisch ist, also nur ungerade Exponenten hat, wodurch sich natürlich Zeit sparen lässt, denn dadurch ist direkt klar, dass z.B. bx^4 sowieso 0 ist, also direkt weggelassen werden kann.

Aber ich entnehme Deiner Antwort, dass "verläuft durch den Ursprung" bzw. (0;0)-Punkte nicht automatisch eine Punktsymmetrie anzeigen?

mfG

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Habe meine Antwort bearbeitet und noch zwei Graphen eingefügt, die das Ganze noch verdeutlichen. Eine Funktion kann zu einem beliebigen Punkt (x|y) symmetrisch sein. 
Gruß Luis

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Es ist aber richtig, dass Funktionen mit geraden UND ungeraden Exponenten keine Symmetrie hat, mit nur geraden Exponenten achsensymmetrisch und mit nur ungeraden Exponenten punktsymmetrisch ist, oder?

D.h. habe ich eine "fertige" Funktion gegeben kann ich die Symmetrie dadurch ermitteln, richtig?

Gibt es irgendeine Möglichkeit bzw. Möglichkeiten bei unfertigen Funktionen über gegebene Hinweise zu ermitteln, ob eventuell schon die Grundform (z.B. f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e) verkleinert werden kann, da eine Information eine z.B. Punktsymmetrie darstellt und ich dadurch im Falle der Punktsymmtrie sofort mit (f(x) = ax^3 + bx) rechnen kann, da die unbekannten Variablen (a, c, e) durch Ihre positiven Exponenten sowieso 0 Ergeben würden?

mfG