Sei V der Raum der stetigen Funktionen f : R → R, die periodisch mit der Periode 2π sind, und sei V 1 der Unterraum von V , der aus den stetig differenzierbaren Funktionen besteht.
(a) Zeigen Sie: Durch ||f|| := max{|f(x)||0 ≤ x ≤ 2π}
erhält man eine Norm auf V .
(b) Wir definieren eine Abbildung ||.||′ : V1 → R durch ||f||′ := ||f′||.
Welche der vier Eigenschaften einer Norm erfüllt ||.||′?
(c) Wir definieren |.| : V1 → R durch
|f| := ||f|| + ||f′||. Zeigen Sie, dass |.| eine Norm ist.
(d) Ist ε>0,so gibt es ein f ∈ V1 mit |f|=1 und ||f|| ≤ ε.