Reihe von (3^n + 2^n + 1^n)/(4^n + 1^n) mit Wurzelkriterium auf Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden beiden Reihen mit Hilfe des Wurzelkriteriums auf Konver-
genz:

1. \( \sum \limits_{n \geq 1} \frac{3^{n}+2^{n}+1^{n}}{4^{n}+1^{n}} \)

2. \( \sum \limits_{n \geq 1} \frac{\left(n^{2}+2 n+1\right)^{n}}{n^{2 n}} \)

Answer 1

Aufgabe 1:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{3^{n}+2^{n}+1^{n}}{4^{n}+1^{n}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}=\frac{3}{4} \)

2^n, 1^n sind gegenüber den Potenzen mit größerer Basis bei der Grenzwertbetrachtung vernachlässigbar.
Der Grenzwert ist 3/4 < 1, die Reihe konvergiert absolut.

Aufgabe 2:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{\left(n^{2}+2 n+1\right)^{n}}{n^{2 n}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{2 n}}{n^{2 n}}}=1 \)

2*n, 1 sind gegenüber n^2 vernachlässigbar bei einer Grenzwertbetrachtung.
Der Grenzwert ist 1, damit ist das Wurzelkriterium nicht geeignet um Aussagen über die Konvergenz der Reihe zu treffen.

Comments

Warum ist denn z. B. 2n und 1 vernachlässigbar? Darf man das auch so in der Klausur machenn?