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Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden beiden Reihen mit Hilfe des Wurzelkriteriums auf Konver-
genz:

1. \( \sum \limits_{n \geq 1} \frac{3^{n}+2^{n}+1^{n}}{4^{n}+1^{n}} \)

2. \( \sum \limits_{n \geq 1} \frac{\left(n^{2}+2 n+1\right)^{n}}{n^{2 n}} \)

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Aufgabe 1:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{3^{n}+2^{n}+1^{n}}{4^{n}+1^{n}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^{n}}=\frac{3}{4} \)

2^n, 1^n sind gegenüber den Potenzen mit größerer Basis bei der Grenzwertbetrachtung vernachlässigbar.
Der Grenzwert ist 3/4 < 1, die Reihe konvergiert absolut.

Aufgabe 2:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{\left(n^{2}+2 n+1\right)^{n}}{n^{2 n}}}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{2 n}}{n^{2 n}}}=1 \)

2*n, 1 sind gegenüber n^2 vernachlässigbar bei einer Grenzwertbetrachtung.
Der Grenzwert ist 1, damit ist das Wurzelkriterium nicht geeignet um Aussagen über die Konvergenz der Reihe zu treffen.

von 3,7 k

Warum ist denn z. B. 2n und 1 vernachlässigbar? Darf man das auch so in der Klausur machenn?

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