Bestimmen Sie alle Polynome: f((1+z)^2) = (1+f(z))^2 und f(0) = 0 (Komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Polynome \( f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \), sodass \( f\left((1+z)^{2}\right)=(1+f(z))^{2} \) für \( z \in \mathbb{C} \) und \( f(0)=0 \) gilt.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass es eine Folge \( \left(z_{n}\right)_{n} \subset \mathbb{C} \) gibt mit \( f\left(z_{n}\right)=z_{n} \) für \( n \in \mathbb{N} \).

Answer 1

Analog zum englischen Skript:

Die Folge z_n, für die f(z_n)=z_n gilt, kannst du per vollständiger Induktion mit vollständiger Induktion zeigen, indem du erst zeigst, dass z. B. f(1)=1, aber statt n+1 mit (n+1)^2 Schritten gehst. Dann ist die Folge z_n=(n+1)^2, für die f(z_n)=z_n gilt.

Dann nimmst du die allgemeine Polynomformel f(z)=SUMME_(j=0 bis m) a_j*z^j und hast bastelst dir daraus ein Gleichungssystem, mit dem du alle möglichen a_j berechnen kannst. Dir hilft vielleicht Präposition 6.12 beim Abschätzen welchen Grad deine Funktion haben muss, siehe Ex. 6.7 auf S. 122

HHU Student