Uneigentliche Integrale auf Konvergenz testen.

Question

Und zwar würde ich gern als Vorbereitung auf eine Klausur uneigentliche Integrale auf Konvergenz testen.

Leider gibt es dabei drei uneigentliche Integrale wo ich überhaupt kein Plan habe was ich machen soll.

1) ∫ ( von minus bis plus unendlich)  e^x sin x dx

2) ∫ ( 0 bis pi) (1 /(sinx))  dx

3) ∫ ( minus bis plus unendlich) e ^{-x^2} dx

Wäre nett wenn ihr mir vielleicht helfen könntet.

Answer 1

es kommt immer auf die genaue Aufgabenstellung an , Du kannst das auch berechnen:

 

Answer 2

Zu (3). Bekanntlich gilt \(e^x\ge1+x>0\) und damit \(e^{x^2}\ge1+x^2\) für alle \(x\ge0\).
Es folgt \(e^{-x^2}\le\frac1{1+x^2}\). Daher gilt für alle \(t\ge0\)$$0\le\int_0^te^{-x^2}\mathrm dx\le\int_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\arctan t.$$Aus Symmetriegründen folgt daraus$$0\le\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\mathrm dx=2\lim_{t\to\infty}\int_0^t e^{-x^2}\mathrm dx\le2\lim_{t\to\infty}\arctan t=\pi,$$und daraus die Konvergenz des uneigentlichen Integrals.$$$$Tipp zu (2) : Es gilt \(x\ge\sin x\ge0\) für alle \(x\in[0,\pi]\).

Comments

Super also. (3) kann ich nachvollziehen. Bei (2) funktioniert  das ja analog machen mit deinem Tipp oder?

Hättest du für (1) noch einen Ansatz?

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Die Argumentation zu (2) ist in der Tat ähnlich zu der von (3), allerdings mit dem Unterschied, dass hier Divergenz nachgewiesen werden sollte.