Sind die Reihen zu dem Folgen (3/n)^n, √(n+9),… konvergent?

Question

$$ \begin{array} { l } { \text{ (a) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { 3 } { n } \right) ^ { 9 } } \\ { \text { (b) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sqrt { n + 9 } } \\ { \text { (c) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { n + 1 } { 9 n } \right) ^ { n } } \\ { \text { (d) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } x _ { n } } \qquad \text { mit } x _ { 1 } : = 42 \text { und } x _ { n + 1 } : = \frac { 3 n + 9 } { 9 n + 1 } x _ { n } \\ { \text { (e) } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \frac { 1 } { n ^ { n } } } \end{array} $$

Wann muss man eigentlich ein Kriterium anwenden? Gibt es da eine Regel? Weil bei b kann man ja sehen dass es gegen +∞ geht. Ich habe auch noch gelesen, dass das Konvergenzkriterium besagt, dass die Reihe gegen 0 gehen muss, aber ich dachte, dass Konvergenz bedeutet, dass die Reihe einen Grenzwert hat. Der kann 0 sein, muss aber nicht.

Comments

Ich habe auch noch gelesen, dass das Konvergenzkriterium besagt, dass die Reihe gegen 0 gehen muss, aber ich dachte, dass Konvergenz bedeutet, dass die Reihe einen Grenzwert hat. Der kann 0 sein, muss aber nicht.

Nein, nicht die Reihe muss gegen 0 gehen, sondern die Teilfolgen ab einem bestimmten n. Dann wird nämlich immer 0 addiert, der Wert ändert sich nicht mehr und die Reihe konvergiert.

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Ich habe auch noch gelesen, dass das Konvergenzkriterium besagt, dass die Reihe gegen 0 gehen muss, aber ich dachte, dass Konvergenz bedeutet, dass die Reihe einen Grenzwert hat.

die Reihe gegen 0 stimmt so nicht.

Die Summanden der Reihe also die zugehörige Folge muss den Grenzwert 0 haben.

Vermutlich musst du bei jeder Begründung das entsprechende Kriterium aus eurem Skript/Kurs anfügen, wenn du volle Punktzahl willst.

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Ich mach hier mal nur die a)

Σ((3/n)^9) = Σ(3^9/n^9) = 3^9*Σ(1/n^9) ≤ 3^9*Σ(1/n^2)

Da Σ(1/n^2) konvergiert (solltet ihr bereits in der Vorlesung gezeigt haben), konvergiert auch Σ((3/n)^9) nach dem Majorantenkriterium.

Der Faktor 3^9 vor der Summe spielt für die Konvergenz keine Rolle, da das den Grenzwert nur verändert, aber niemals divergieren lässt.

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Also nicht die Reihe muss gegen 0 gehen, sondern es werden irgendwann bei großem n nur noch Nullen als Teilfolgen dazuaddiert.

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Also a habe ich jetzt mit dem Majorantenkriterium gelöst. c habe ich mit dem Wurzelkriterium gelöst. e konvergiert auch. Ich bräuchte aber noch Hilfe bei b und d.

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Bei b) kannst du das Minorantenkriterium anwenden.

√(n+9) ≥ 3

Σ√(n+9) ≥ Σ 3 = 3+3+3.... = ∞

Divergente Minorante, deshalb divergent.

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Hallo und danke erstmal für die Antwort, aber warum wählt man 3 als Vergleichreihe?

Ehrlich gesagt verstehe ich d nicht, wie kann man die beiden Bedingungen in Relation bringen?

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n+9 unter der Wurzel ist sicher nie kleiner als 9. Wurzel draus ist 3.

d) könnte ich auch nicht formalisieren.

Die Vergleichsreihe wäre aber

xn+1 = 1/3 xn. Also eine konvergente geometrische Reihe.

Siehst du, wenn du im Faktor vorher n gegen unendlich gehen lässt (Trick: Erst oben und unten durch n teilen)

Answer 1

Ich hoffe, das hat geklappt mit Hilfe der Kommentare und fasse mal 2 Kommentare zu einer Antwort zusammen.

Bei b) kannst du das Minorantenkriterium anwenden.

√(n+9) ≥ 3

n+9 unter der Wurzel ist sicher nie kleiner als 9. Wurzel draus ist 3.

Σ√(n+9) ≥ Σ 3 = 3+3+3.... = ∞

Divergente Minorante, deshalb divergent.

d) könnte ich auch nicht formalisieren.

Die Vergleichsreihe wäre aber

xn+1 = 1/3 xn. Also eine konvergente geometrische Reihe.

Siehst du, wenn du im Faktor vorher n gegen unendlich gehen lässt (Trick: Erst oben und unten durch n teilen)