Sei R ein kommutativer Ring. Zeigen Sie: ...

Question

Sei R ein kommutativer Ring und sei a ∈ R. Zeigen Sie:

Die Abbildung
Φ: R → R, x ↦ ax
ist genau dann injektiv, wenn a kein Nullteiler ist.

Φ  ist genau dann surjektiv, wenn a eine Einheit ist.

Sei R endlich. Dann ist jedes Element von R entweder ein Nullteiler oder eine
Einheit.

Comments

Schade, dass es niemand beantworten kann.

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Wo es doch so einfach ist.

Answer 1

ist a Nullteiler, so existiert ein x mit ax = 0. Damit ist φ(0) = φ(x) und die Abbildung ist nicht injektiv.

Sei die Abbildung umgekehrt injektiv. Dann gilt φ(0) = 0 und φ(x) ungleich 0 für alle x ungleich 0 (für alle x in R). Damit ist a kein Nullteiler (in R).

Ist a eine Einheit, dann gibt es a^{-1} mit φ(a^{-1}) = 1 und φ(a^{-1}b) = b für alle b aus R. Damit ist φ surjektiv.

Sei a keine Einheit. Dann ist φ(b) ungleich 1 für alle b in R und φ ist folglich nicht surjektiv.

Weil φ ein Endomorphismus und R endlich ist, gilt: φ ist surjektiv genau dann, wenn φ injektiv ist.

Sei φ surjektiv. Dann ist φ injektiv. Das heißt, a ist eine Einheit. Sei φ nicht surjektiv. Dann ist φ nicht injektiv. Dies bedeutet, dass a ein Nullteiler ist.

MfG

Mister

Answer 2

zu a):

für die richtung "injektiv => kein nullteiler" überleg dir mal was injektivität für das 0 Element bedeutet.

für die Richtung "kein nullteiler => injektiv" google doch einfach mal:
http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_K%C3%B6rper:_Endlicher_Integrit%C3%A4tsbereich#Beweis_1_.28kombinatorisch.29