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Ich weiß nicht wie man es anhand eines Gegenbeispiels darstellen soll.


Hoffe ihr könnt mir helfen.


von

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Wir betrachten eine Menge X mit mehr als einem Element und die Klumpentopologie $$ {\cal{T}}  = \{\emptyset, X\} $$ auf X. Dann gibt es für jedes Element aus X nur eine einzige Umgebung, nämlich X selbst.  Sei $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ irgendeine Folge in X, dann liegen also alle Folgeglieder in jeder (nämlich der einzigen!) Umgebung eines beliebigen Elements a aus X. Jede Folge in X konvergiert also gegen jedes Element von X, und da X nach Voraussetzung mehr als ein Element hat, ist der Grenzwert insbesondere nicht eindeutig.
von

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