Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass der Grenzwert in topologischen Räumen nicht eindeutig sein muss.

Question

Aufgabe:

Sei \( X \) ein topologischer Raum und \( x \in X \). Eine Teilmenge \( U \subset X \) heiBt Umgebung von \( x \), wenn es eine offene Menge \( V \subset X \) gibt mit \( x \in V \subset U \). Sei \( \left(x_{n}\right) \subset X \) eine Folge von Punkten.

Wir sagen \( \left(x_{n}\right) \) konvergiert gegen \( x \in X \), wenn zu jeder Umgebung \( U \subset X \) von \( x \) ein \( N \in \mathbb{N} \) existiert, sodass \( x_{n} \in U \) für alle \( n \geq N \).

Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass der Grenzwert in topologischen Räumen nicht eindeutig sein muss. Wie verhält sich das, wenn man das Hausdorffaxiom annimmt?

Answer 1

Wir betrachten eine Menge X mit mehr als einem Element und die Klumpentopologie $$ {\cal{T}}  = \{\emptyset, X\} $$ auf X. Dann gibt es für jedes Element aus X nur eine einzige Umgebung, nämlich X selbst.  Sei $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$ irgendeine Folge in X, dann liegen also alle Folgeglieder in jeder (nämlich der einzigen!) Umgebung eines beliebigen Elements a aus X. Jede Folge in X konvergiert also gegen jedes Element von X, und da X nach Voraussetzung mehr als ein Element hat, ist der Grenzwert insbesondere nicht eindeutig.