ϱa + ϱb + ϱc - ϱ = 4r

Question

Hey!

Könnte mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen bzw. einen Lösungsansatz geben?

Für jedes Dreieck gilt: ϱa+ϱb+ϱc-ϱ=4r

(also die drei ankreisradien minus dem inkreisradius eines dreiecks ist gleich 4 mal dem Umkreisradius)

Vielen dank schon mal! :)

Comments

Worin besteht die Aufgabe und gibt es eine Zeichnung?

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Das ist die Aufgabe, es steht nur die Aussage "Für jedes Dreieck gilt ....".Nein, eine Zeichnung dazu gibt es nicht.

Also man kann ja die Ankreisradien und den Inkreisradius mit verschiedenen Formeln wie zB inkreisradius= Fläche des Dreiecks/s s=(a+b+c)/2 berechnen und diese dann geschickt in die Aussage einsetzen, nur komm ich nicht drauf wie.

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Also eine Beweisführung ist gefragt!

Am besten mach mal eine Liste der Formeln für die Dreieckskreise als Ideensammlung.

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Habe ich schon gemacht, bin aber auf keine Lösung gekommen. Die vorherigen Beispiele, die ähnlich aufgebaut waren, habe ich problemlos geschafft aber bei dem komm ich nicht weiter.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Inkreis

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkreis

https://de.wikipedia.org/wiki/Ankreis

... falls keine Formelsammlung zur Hand ...

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aber bei dem komm ich nicht weiter.

Gibts einen Anfang, Versuch, Ansatz ?

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Habs mit den formeln ankreisradius a= F/(s-a) probiert, Funktioniert aber nicht..

Answer 1

Ich denke, mit diesem Ansatz sollte es funktionieren:

$$\varrho_i = \frac{2 A}{a+b+c}$$
$$r_a = \frac{abc}{4A}$$
$$\varrho_a = \frac{2 A}{b+c-a}$$
$$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, s = \frac{a+b+c}{2}$$
 $$ϱ_a+ϱ_b+ϱ_c-ϱ_i=4r_a$$

einfach mal einsetzen und bearbeiten.

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Bonustrick:

$$\varrho_i = \frac{ A}{s}$$
$$\varrho_a = \frac{A}{s-a}$$
$$s = \frac{a+b+c}{2}$$