Beweis mit Körperaxiomen bzw. Anordnungsaxiomen: Bsp. x^2 + y^2 ≥n ( n ist Nullelement )

Question

Aufgabe:

(c) Für alle \( x, y \in K \) ist \( x^{2} \oplus y^{2} \geq n \). Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn \( x=y=n \) ist.

(d) Wenn \( n \leq x \leq \varepsilon \) für alle \( \varepsilon>n \) ist, dann ist \( x=n \).

dabei soll K ein angeordneter Körper sein mit Nullelement n und Einselement e.

Ansatz/Problem:

WIe soll man sowohl (c) und (d) ausschließlich mit den Körper bzw. Anordungsaxiomen beweiesen, dabei soll K ein angeordneter Körper sein mit Nullelement n und Einselement e.

Meine Ideen zu (c)

Zu zeigen x² + y² >0

Es gilt ja x²>0 und y² > 0

<=> x²>0 und 0>-y²

<=> x²>-y²

<=> x²+y² > -y² + y² = 0

Zu (d) habe ich echt keinen Plan...

Answer 1

Es gilt ja x²>0 und y² > 0  
musst du das nicht beweisen ?   Aus anordnungsaxiomen, etwa so
(übrigens ist das Nullelement n    !! ) und nicht 0.)

Für alle x aus K mit x ungleich n  gilt x*x > n

                                     1. Fall:   x > n   dann ergibt Multiplikation mit x
                                                       x*x > n*x
                                                          x^2 > n               da n*x=n
                                     2. Fall   x<n   dann ergibt Multiplik. mit x (Zeichen dreht sich !!)
                                                  x*x > n*x
                                                    x^2 > n
                                      3. Fall x=n dann   x*x= n 
also insgesamt   x^2 ≥ n
und mit dem Axiom zur Addition     x^2 + y^2 ≥ n 


                    

Comments

Vielen vielen Dank für die Hilfe? Können Sie mir auch einen kleinen Tipp für die Beabreitung von Teil (d) geben?