Konvexe Mengen im normierten Raum Beweise

Question

Aufgabe:

Eine Teilmenge \( A \) eines reellen Vektorraumes \( V \) heißt konvex, wenn gilt:
Sind \( x, y \in A \), so enthält \( A \) auch die Verbindungsstrecke \( \{\lambda y+(1-\lambda) x \mid 0 \leq \lambda \leq 1\} \) von \( x \) und \( y \).

(a) Ist \( V \) ein normierter Raum und \( r>0 \), so sind die Mengen \( B_{r}(0) \) und \( \bar{B}_{r}(0) \) konvex.

(b) Ist \( V \) ein normierter Raum, \( a \in V \) und \( r>0 \), so sind die Mengen \( B_{r}(a) \) und \( \bar{B}_{r}(a) \) konvex.

(c) Ist \( 0<p<1 \) und definiert man

\( \|v\|_{p}:=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\ldots+\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1 / p} \)

für \( v=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \), so ist \( \|\cdot\|_{p} \) keine Norm auf \( \mathbb{R}^{n} \), falls \( n \geq 2 \).

Answer 1

Also gut, ich zeig dir mal wie die a) in etwa läuft:

Du willst zeigen, dass \( B_{\tau}(0) \) konvex ist. Wir nehmen also zwei Punkte \( x \) und \( y \) aus dem Ball, es gilt dann \( |x|<\tau \) und \( |y|<\tau . \) Zu zeigen ist nun, dass für einen beliebigen Punkt \( \mathrm{z} \) auf der Verbindung gilt:

\( |z|=|\lambda y+(1-\lambda y)|<\tau \text { für } 0<\lambda<1 \)

\( |\lambda y+(1-\lambda) x| \leq|\lambda y|+|(1-\lambda) x| \) nach der Dreiecksungleichung

\( |\lambda y|+|(1-\lambda) x|=\lambda|y|+(1-\lambda)|x|<\lambda \cdot \tau+(1-\lambda) \cdot \tau=\tau \)

Also ist \( |z|<\tau \) für alle \( z \) auf der Verbindung von \( x \) und \( y \) also ist \( B_{\tau}(0) \) konvex.

Für den abgeschlossenen Ball und für die b) solltest du es jetzt selbst hinbekommen.

Für die c) brauchst du "einfach" ein Gegenbeispiel, hast du da schonmal ein bisschen rumprobiert im IR²?

Sonst frag einfach nochmal.