Konvergenz von Reihen, Majorantenkriterium

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie die Konvergenz der Reihe
$S_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}$

Hinweis: Verwenden Sie das Majorantenkriterium. Aufgabe 3 (b) vom zweiten Übungsblatt könnte helfen.

(b) Sei $\left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}$ eine monoton fallende, positive, reelle Nullfolge. Zeigen Sie, dass die alternierende Reihe

$S_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n}(-1)^{k} a_{k}$

konvergiert. Gehen Sie dazu in folgenden Schritten vor:

(i) Zeigen Sie zunächst, dass die Teilfolge $\left(S_{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ monoton fallt und dass die Teilfolge $\left(S_{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}}$ monoton wächst. Zeigen Sie zudem, dass beide Folgen beschränkt sind.

Folgern Sie, dass $\left(S_{2 n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ gegen ein $L \in \mathbb{R}$ und dass $\left(S_{2 n+1}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ gegen ein $P \in \mathbb{R}$ konvergiert.

(ii) Zeigen Sie, dass $L=P$ gilt.

Hinweis: Verwenden Sie, dass $S_{2 n+1}=S_{2 n}-a_{2 n+1}$ gilt.

Folgern Sie daraus, dass die alternierende harmonische Reihe $\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{k}$ konvergiert.

Answer 1

Hi, es gilt $\frac{1}{n^2} \le \frac{1}{n(n-1)}$ Weiter gilt
$$\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(n+1)n} = \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 1$$
Hier der Hinweis auf Teleskopsummen.
Damit ist eine konvergente Majorante für $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ gefunden.