Aufgabe:
Sei \( V \) ein beliebiger \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( A \subseteq V \), dann ist die lineare Hülle von \( A \), die durch:
\( \operatorname{span}(A):=\left\{\sum \limits_{i=1}^{k} \lambda_{i} a_{i} \mid k \in \mathbb{N}, a_{i} \in A, \lambda_{i} \in \mathbb{K}\right\} \)
gegeben ist, ebenfalls ein Vektorraum.
a) Bestimmen Sie eine Basis der linearen Hülle der Vektoren \( v_{1}=(1,0,0,2), v_{2}=(2,1,3,1), v_{3}= \) \( (0,1,-2,-1) \) und \( v_{4}=(3,2,1,2) \) aus dem \( \mathbb{R}^{4} \).
b) Bestimmen Sie eine Basis im Vektorraum der Polynome \( \operatorname{span}\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}\right) \subseteq \mathbb{K}[x], \operatorname{deg}\left(p_{i}\right) \leq 3 \forall i \in \) \( \{1,2,3,4\} \) mit \( p_{1}(x)=x^{2}-1, p_{2}(x)=x^{2}+2 x+1, p_{3}(x)=3 x^{2}+2 x-1, p_{4}(x)=2 x+2 \) für \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_{5} \) und \( \mathbb{K}=\mathbb{Z}_{2} \)
Beweisen Sie Ihre Aussagen.
