Stetige Funktionen. Zeigen Sie dass es eine Zahl x0,...

Question

Aufgabe:

a) Es seien \( a \) und \( b \) reelle Zahlen mit \( a<b . \) Des Weiteren seien \( f, g:[a, b,] \rightarrow \),\( R \) zwei stetige Funktionen mit \( f(a)<g(a) \) und \( f(b)>g(b) \).

Zeigen Sie, dass es eine Zahl \( x_{0} \in[a, b] \) gibt, für die \( f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right) \) gilt.

b) Verwenden sie Aufgabenteil a), um zu zeigen, dass es ein \( x_{0} \in[0,2] \) mit \( \frac{1}{1+x_{0}^{2}}=\sqrt{x_{0}} \quad \) gibt.

Answer 1

a)

Die Differenz stetiger Funktionen ist auch stetig und f - g hat bei a einen negativen Wert und bei b einen positiven Wert, also zwischendurch den Wert 0 (Zwischenwertsatz).

Dort gilt f(xo) - g(xo) = 0 also ist es das ges. xo.

b)

Linker Term für g und rechter für f

1 / (1+o^2)  = 1      = g(0)   und f(0) = 0 also f(0) < g(0)
1 / ( 1+2^2) = 0,2 = g(2)  und f(2) = 1,41 also f(2) > g(2).