Vektorprodukt Rechenregeln

Question

Ich bin gerade dabei ein paar Eigenschaften von Householder-Matrizen zu beweisen.

Probleme habe ich gerade bei den letzten beiden Eigenschaften.

Einmal die Def. von Householder-Matrizen:

Q_v = I - 2/(v^T*v) *  v * v^T 

wobei v Element R^n ist und I die Einheitsmatrix im nxn.

Ich soll zeigen, dass:

1.Q_v*y = y äquivalent zu vT*y=0    für y Element R^n

2. Q_v*v= -v 

Zu 1. habe ich:

Q_v*y = ( I - 2/(v^T*v) *  v * v^T  )* y = y - (2/(v^T*v) *  v * v^T)*y

Das ist genau dann y,wenn  (2/(v^T*v) *  v * v^T)*y= 0

Also: (v*v^T)*y = 0 werden. Kann ich das y jetzt einfach in die Klammer reinziehen und mit v*T multiplizieren? Also ist:

(v*v^T)*y = v*(v^T*y)

Ist das eine Rechenregeln für Vektoren?

Zu 2. habe den selben Ansatz wie, bei 1. komme aber leider nicht mehr weiter.

Q_v*c = ( I - 2/(v^T*v) *  v * v^T  )* v = v - (2/(v^T*v) *  v * v^T)*v

Was muss ich hier anweden,damit sich der Bruch zu v kürzt?

Answer 1

Hi,
zu (1) ja \( Qy = y \) ist äquivalent zu \( v v^t y = 0 \), und ja das Assoziativgesetzt ist gültig für Matrizen Multiplikationen.

zu (2) Hier gilt \( Qv = v -2\frac{vv^t}{v^tv}v = v - 2v \frac{v^tv}{v^tv} = v-2v = -v  \)
 wegen dem Assoziativgesetz.