Vektorraum Pn = {p0 + p1x +...+ pnx^n | p0,... ,pn∈R} allgemein zeigen

Question

Hi,

kann mir vielleicht jemand bei der aufgabe helfen, verstehe nicht was ich machen soll..

Die Menge aller Polynome vom Grad ≤ n ist definiert durch:

P_n = {p0 + p₁x +...+ p_nxⁿ | p_0,... ,p_n∈R}

Zeigen Sie, dass P_n zusammen mit (p + q)(x) := ∑ⁿ_i=0 (p_i + q_i)xⁱ als Addition und

λp(x) :=  ∑ⁿ_i=0   λp_ixⁱ  als Skalarmultiplikation fur λ∈ R einen Vektorraum bildet.

Wäre nett wenn mir jemand helfen kann, selbst nen ansatz wäre hilfreich.

lG

Sarah L.

Comments

Ansatz: Abgeschlossenheit

Gruß

Answer 1

Hi, Du musst die Vektorraumaxiome zeigen.

Ich mache mal als Beispiel das Assoziativgesetz: Es ist zu zeigen das gilt:
$$ p(x) + [ q(x) + r(x) ] = [ p(x) + q(x) ] + r(x)  $$
Weil gilt
$$ p(x) + [ q(x) + r(x) ] = \sum_{k=0}^n p_k x^k + \sum_{k=0}^n (q_k + r_k)x^k =  \sum_{k=0}^n [p_k+(q_k+r_k)]x^k = \sum_{k=0}^n [(p_k+q_k)+r_k]x^k = \sum_{k=0}^n (p_k+q_k)x^k+\sum_{k=0}^nr_kx^k $$ $$= [p(x)+q(x)]+r(x) $$ folgt die Behauptung. Und so ähnlich musst Du das für die restlichen Vektorraumaxiome machen.