Aufgabe:
Untersuchen Sie die folgenden auf R \mathbb{R} R definierten Funktionen auf Stetigkeit.
(i) f1(x)={sin(x)x≥0cos(x−π2)x<0 f_{1}(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin (x) & x \geq 0 \\ \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right) & x<0\end{array}\right. f1(x)={sin(x)cos(x−2π)x≥0x<0
(ii) f2(x)={∣x∣x≥0x2+1x2+xx<0 f_{2}(x)=\left\{\begin{array}{cl}|x| & x \geq 0 \\ \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x} & x<0\end{array}\right. f2(x)={∣x∣x2+xx2+1x≥0x<0
(iii) f3(x)={sin(ln(∣x∣))x≠00x=0 f_{3}(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin (\ln (|x|)) & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right. f3(x)={sin(ln(∣x∣))0x=0x=0
i.)Die beiden Teilfunktion sind wie bekannt stetig.Nahtstellef ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0f ( 0 ) = cos ( 0 - pI / 2 ) = 0Die Funktion ist stetig
ii.)f ( 0 ) = | 0 | = 0f ( 0(-) ) = ( x2 + 1 ) / ( x2 + x ) = 1 / ( x * ( x + 1 ) ) = 1 / 0(-) = - ∞
Die Funktion ist nicht stetig
iii.)Dies könnte falsch sein0(+) bzw. 0(-)| x | = 0(+)ln ( 0(+) ) = - ∞sin ( - ∞ ) ist nicht definiert sondernoszilliert zwischen -1 und +1Ist aber etwas für Spezialisten.
f1(x) = (x^(2)+1)/(x^(2)+x)Zoom: x(-10…10) y(-10…10)
Die Funktion
f1(x)={sin(x)x≥0cos(x−π2)x<0=⋯=sin(x) f_1(x) = \begin{cases} \sin(x)\quad\quad\quad x\ge0\\\cos(x-\frac{\pi}{2})\quad x<0 \end{cases} \quad=\dots = \sin(x) f1(x)={sin(x)x≥0cos(x−2π)x<0=⋯=sin(x)
ist sicher stetig!
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