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Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden auf R \mathbb{R} definierten Funktionen auf Stetigkeit.

(i) f1(x)={sin(x)x0cos(xπ2)x<0 f_{1}(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin (x) & x \geq 0 \\ \cos \left(x-\frac{\pi}{2}\right) & x<0\end{array}\right.

(ii) f2(x)={xx0x2+1x2+xx<0 f_{2}(x)=\left\{\begin{array}{cl}|x| & x \geq 0 \\ \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x} & x<0\end{array}\right.

(iii) f3(x)={sin(ln(x))x00x=0 f_{3}(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin (\ln (|x|)) & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.

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2 Antworten

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i.)
Die beiden Teilfunktion sind wie bekannt stetig.
Nahtstelle
f ( 0 ) = sin ( 0 ) = 0
f  ( 0 ) = cos ( 0 - pI / 2 ) = 0
Die Funktion ist stetig

ii.)
f ( 0 ) = | 0 |  = 0
f ( 0(-) ) = ( x2 + 1 ) / ( x2 + x ) = 1 / ( x * ( x + 1 ) ) = 1 / 0(-) = - ∞

Die Funktion ist nicht stetig

iii.)
Dies könnte falsch sein
0(+)  bzw. 0(-)
| x | = 0(+)
ln ( 0(+) ) = - ∞
sin ( - ∞ ) ist nicht definiert sondern
oszilliert zwischen -1 und +1
Ist aber etwas für Spezialisten.

Avatar von 123 k 🚀
Die Funktion
( x2 + 1 ) / ( x2 + x )
ist auch ] in -∞ ; 0 [ nicht stetig

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f1(x) = (x^(2)+1)/(x^(2)+x)Zoom: x(-10…10) y(-10…10)

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Die Funktion

f1(x)={sin(x)x0cos(xπ2)x<0==sin(x) f_1(x) = \begin{cases} \sin(x)\quad\quad\quad x\ge0\\\cos(x-\frac{\pi}{2})\quad x<0 \end{cases} \quad=\dots = \sin(x)

ist sicher stetig!

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