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Schätzen Sie...

$$\int_0^1 e^{-x^2}dx$$

...mit einem Fehler kleiner gleich 0.001 ab.

Wie geht man an sowas heran?

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Eine unter vermutlich vielen Methoden dieses Integral abzuschätzen wäre die folgende.

Zeige zunächst per Induktion über \(n\), dass \((2n+1)\cdot n!>4^n\) für alle \(n>4\) gilt.

Summandenweise Integration der Exponentialreihe liefert unter Berücksichtigung der Integrationsgrenzen$$S:=\int_0^1e^{-x^2}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\cdot n!}.$$Es folgt$$\left\vert S-\sum_{n=0}^5\frac{(-1)^n}{(2n+1)\cdot n!}\right\vert<\sum_{n=6}^\infty\left(\frac14\right)^n$$$$\left\vert S-\frac{31049}{41580}\right\vert<\frac1{3072}.$$

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Danke für Deine Antwort. Ich hätte sagen sollen, dass diese Aufgabe auf einer Serie mit Tayloraufgaben steht. Folglich muss man wohl irgendetwas mit einer Taylorreihe anfangen, doch was genau?

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Ich würde erstmal die Endpunkte ansehen ...

... mit der erträumten Genauigkeit kämen mir allerdings dabei Bedenken.

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Es sieht der Gauss-Glocke so verdammt ähnlich ...

Hallo und danke für Deine Antwort. Diese Aufgabe steht auf einem Blatt mit "Tayloranwendungen". Heisst das, das man eventuell die Taylorreihe bilden sollte?

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