Schätzen Sie...
∫01e−x2dx\int_0^1 e^{-x^2}dx∫01e−x2dx
...mit einem Fehler kleiner gleich 0.001 ab.
Wie geht man an sowas heran?
Eine unter vermutlich vielen Methoden dieses Integral abzuschätzen wäre die folgende.Zeige zunächst per Induktion über nnn, dass (2n+1)⋅n!>4n(2n+1)\cdot n!>4^n(2n+1)⋅n!>4n für alle n>4n>4n>4 gilt.Summandenweise Integration der Exponentialreihe liefert unter Berücksichtigung der IntegrationsgrenzenS : =∫01e−x2dx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)⋅n!.S:=\int_0^1e^{-x^2}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\cdot n!}.S : =∫01e−x2dx=n=0∑∞(2n+1)⋅n!(−1)n.Es folgt∣S−∑n=05(−1)n(2n+1)⋅n!∣<∑n=6∞(14)n\left\vert S-\sum_{n=0}^5\frac{(-1)^n}{(2n+1)\cdot n!}\right\vert<\sum_{n=6}^\infty\left(\frac14\right)^n∣∣∣∣∣∣S−n=0∑5(2n+1)⋅n!(−1)n∣∣∣∣∣∣<n=6∑∞(41)n∣S−3104941580∣<13072.\left\vert S-\frac{31049}{41580}\right\vert<\frac1{3072}.∣∣∣∣∣S−4158031049∣∣∣∣∣<30721.
Danke für Deine Antwort. Ich hätte sagen sollen, dass diese Aufgabe auf einer Serie mit Tayloraufgaben steht. Folglich muss man wohl irgendetwas mit einer Taylorreihe anfangen, doch was genau?
Ich würde erstmal die Endpunkte ansehen ...
... mit der erträumten Genauigkeit kämen mir allerdings dabei Bedenken.
Es sieht der Gauss-Glocke so verdammt ähnlich ...
Hallo und danke für Deine Antwort. Diese Aufgabe steht auf einem Blatt mit "Tayloranwendungen". Heisst das, das man eventuell die Taylorreihe bilden sollte?
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