Beweise: Wenn f stetig differenzierbar..., gilt a) Ungleichung ||f(x)-f(y)||≤√(mn)M||x-y|| .

Question

Aufgabe:

a) Sei \( U \subset \mathbb{R}^{n} \) offen und konvex, \( f: U \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) stetig differenzierbar. Es gelte \( \left|D_{i} f^{j}(x)\right| \leq M \) für alle \( x \in U \), alle \( i=1, \ldots, n \) und alle \( j=1, \ldots, m \). Zeigen Sie: \( \|f(x)-f(y)\| \leq \sqrt{m n} M\|x-y\| \) für alle \( x, y \in U \).

b) Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig differenzierbar. Dann gilt \( f_{x}(x, y)=f_{y}(x, y) \) für alle \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) genau dann, wenn \( f(x, y)=f(0, x+y) \) für alle \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) gilt.

Answer 1

a) Siehe die Definition von Funktionen die Lipschitz stetig sind.


b) Was bedeutet f_x(x,y)=f_y(x,y)?

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y+h)}{h}=0$$


Hilft dir das weiter?