Beweise: Wenn f stetig differenzierbar..., gilt a) Ungleichung ||f(x)-f(y)||≤√(mn)M||x-y|| .

Question

Aufgabe:

a) Sei $U \subset \mathbb{R}^{n}$ offen und konvex, $f: U \rightarrow \mathbb{R}^{m}$ stetig differenzierbar. Es gelte $\left|D_{i} f^{j}(x)\right| \leq M$ für alle $x \in U$, alle $i=1, \ldots, n$ und alle $j=1, \ldots, m$. Zeigen Sie: $\|f(x)-f(y)\| \leq \sqrt{m n} M\|x-y\|$ für alle $x, y \in U$.

b) Sei $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar. Dann gilt $f_{x}(x, y)=f_{y}(x, y)$ für alle $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$ genau dann, wenn $f(x, y)=f(0, x+y)$ für alle $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$ gilt.

Answer 1

a) Siehe die Definition von Funktionen die Lipschitz stetig sind.


b) Was bedeutet f_x(x,y)=f_y(x,y)?

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} \Rightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y+h)}{h}=0$$


Hilft dir das weiter?