Hesseform für die Ebene E angeben. E: X =(3,0,3) + t(2,0,-1) + s(2,3,-2) und Abstand.

Question

Aufgabe:

Geben Sie die Hesseform der Ebene E an.

\( E: \vec{X}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 3 \\ -2\end{array}\right) \)

Gibt es einen Punkt \( S (1 / 1 / ? ) \), der von E den Abstand \( 8 \) hat?

Answer 1

Hesse-Form ist eine Art von Ebenengleichung, bei der du einen Normalenvektor
von E und einen Punkt von E brauchst.
Normalenvektor ist z.B. das Vektorprodukt der Richtungsvektoren,
bei dir also (3 ; 2 ; 6 ) mit der Länge 7
also ist n =  (1/7)* (3 ; 2 ; 6 )  ein sog. Normaleneinheitsvektor.
Mit dem und dem Punkt (3/0/3) bildest du die Normalenform
( x - p ) * n = 0
hier also
(  ( x1;x2;x3) - (3 ; o ; 3 ) )  *    (1/7)* (3 ; 2 ; 6 )  = 0 
oder ausgerechnet in Koordinatenform
3*(x1-3) + 2 ( x2-0) + 6*(x3 - 3)  /  7   = 0
( 3x1 + 2x2 + 6x3 - 27 )  / 7      = 0
Das ist die Hesse-Form für E.

und wenn du jetzt einen Punkt einsetzt und die Gl. stimmt, dann ist der Punkt in E.
Der Pfiff ist allerdings:
wenn es nicht stimmt, und es kommt etwa beim Einsetzen von Q heraus
- 3 = 0
dann ist der Betrag von -3 der Abstand des Punktes von der Ebene.

und bei b) setzt du das S ein und bestimmst die beiden Werte von x3,
für die als Abstand 8 herauskommt , also  -8 oder  8 für
( 3x1 + 2x2 + 6x3 - 27 )  / 7