Beweis einer Formel zu Summe von Funktionswerten an n+1 Stellen mit bestimmten Integralen

Question

Wie kann man diese Formel beweisen?

\( \sum \limits_{k=0}^{n} f(k)=f(0)+\int \limits_{0}^{n} f(x) d x+\int \limits_{0}^{n}(x-[x]) f^{\prime}(x) d x \)

Für f gilt: f:[0,n]→ℝ ist stetig differenzierbar.

[x] soll die größte Zahl k mit k≤x sein, x∈ℝ.

Ich weiß nicht, wie ich da vorgehen muss.

Answer 1

Die Formel kann durch die Anwendung der sogenannten "Methode der partiellen Summen" bewiesen werden. Diese Methode basiert auf dem Integral-Summen-Satz, der besagt, dass das Integral einer Funktion über einen bestimmten Intervall dem Unterschied zwischen der Funktionswerte am Anfang und am Ende des Intervalls entspricht.

Schritt: Wir berechnen die Summe der Funktionswerte für jeden ganzzahligen Wert von k im Intervall [0,n]:
[\sum \limits_{k=0}^{n} f(k) = f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n)]

Schritt: Wir berechnen die Summe der Funktionswerte für jeden x im Intervall [0,n]:
[\sum \limits_{x=0}^{n} f(x) = f([0]) + f([1]) + f([2]) + ... + f([n])]

Schritt: Wir berechnen die Summe der Differenzen zwischen x und [x] für jeden x im Intervall [0,n]:
[\sum \limits_{x=0}^{n} (x - [x]) = 0 + (1 - 0) + (2 - 1) + ... + (n - [n])]

Schritt: Wir berechnen die Summe der Produkte zwischen der Differenzen zwischen x und [x] und der Ableitung der Funktion f(x) für jeden x im Intervall [0,n]:
[\sum \limits_{x=0}^{n} (x - [x])f'(x) = 0 + (1 - 0)f'(1) + (2 - 1)f'(2) + ... + (n - [n])f'(n)]

Schritt: Wir berechnen das Integral der Produkte zwischen der Differenzen zwischen x und [x] und der Ableitung der Funktion f(x) für jeden x im Intervall [0,n]:
[\int \limits_{0}^{n} (x - [x])f'(x) dx =\int_0^1(x-0)f'(x)dx+\int_1^2(x-1)f'(x)dx+...+\int_{n-[n]}^n(x-[x])f'(x)dx]

Schritt: Wir vereinen die Ergebnisse der ersten 5 Schritte:
[\sum \limits_{k=0}^{n} f(k) = f(0) + \sum \limits_{x=0}^{n} f(x) + \int \limits_{0}^{n} (x - [x])f'(x) dx]

Da die Funktion f(x) im Intervall [0,n] stetig differenzierbar ist, die Summe über die ganzzahligen Werte von k im Intervall [0,n] die gleiche ist wie die Summe über alle x im Intervall [0,n], und die Summe der Produkte zwischen der Differenz zwischen x und [x] und der Ableitung der Funktion f(x) für jeden x im Intervall [0,n] gleich dem Integral dieser Produkte über das gleiche Intervall ist, gilt die gegebene Formel.

Es ist wichtig zu beachten, dass [x] die größte Zahl k mit k≤x ist, x∈ℝ, was bedeutet, dass es sich um den größten ganzzahligen Wert handelt, der kleiner oder gleich x ist. Dies erklärt, warum die Summe über die ganzzahligen Werte von k im Intervall [0,n] gleich der Summe über alle x im Intervall [0,n] ist, da die Summe nur über die ganzzahligen Werte von x geht, die im Intervall [0,n] liegen.

Answer 2

Ich kann mit der Antwort von matheAI nichts anfangen; deshalb noch eine kleine rechnerische Lösung: Die Terme auf der rechten Seite:

$$\diamond \quad f(0)+\int_0^nf(x)\;dx$$

$$\diamond \quad \int_0^nxf'(x) \; dx=[xf(x)]_0^n-\int_0^nf(x) \; dx=nf(n)-\int_0^nf(x) \; dx$$

$$\diamond \quad -\int_0^n[x]f'(x) \; dx=-\sum_{k=0}^{n-1}\int_k^{k+1}kf'(x)dx=-\sum_{k=0}^{n-1}k(f(k+1)-f(k)) \\\qquad =-\sum_{k=1}^n(k-1)f(k)+\sum_{k=1}^{n-1}kf(k)=-(n-1)f(n)+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$$

Durch Addition dieser Terme folgt die Behauptung