Homogenität von Integralen beweisen

Question

kann ich die Homogenität von Integralen:

∫_a^b y * f(x) dx = y ∫_a^b f(x) dx

so beweisen?

Mit einer geeigneten Zerlegung Z_i, i ∈ I, von [a, b] lässt sich f als f = ∑_i∈I d_i * e_Zi schreiben.

Damit gilt:

∫_a^b y * f(x) dx = ∫_a^b (∑_i∈I y * (d_i * e_Zi)) dx = ∑_i∈I y * (d_ix(Z_i))

= y * ∫_a^b (∑_i∈I d_i * e_Zi) dx = y * ∫_a^b f(x) dx

Answer 1

Geht es dir nicht mit den Integralen und Summen etwas durcheinander ?

Das Integral ist doch der Grenzwert von Summen der Art  ∑_i∈I d_i * f(e_i) 

und im linken Teil der Gleichung ist das Int. der Grenzwert von    ∑_i∈I d_i *y* f(e_i) 

= y *     ∑_i∈I d_i * f(e_i) weil du das y aus der Summe ziehen kannst und

bei der Grenzwertbildung bleibt es auch davor und du hast  y ∫_a^b f(x) dx

 

Comments

Also einfach:

∫_a^b y * f(x) dx = ∑_i∈I d_i *y* f(e_i) = y * ∑_i∈I d_i * f(e_i) = y ∫_a^b f(x) dx

reicht?

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Ich würde da schon noch was von wegen lim erwähnen.

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Wie genau? Tut mir Leid, ich steh' grade ziemlich auf dem Schlauch.