matrix exponential transponieren

Question

Wie kann ich zeigen, dass gilt exp(A^T) = (exp(A))^T ?

Mein bisheriger Ansatz ist:


$${ { e }^{ A } }^{ T }=\lim _{ n->\infty }{ \sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { { t }^{ k } }{ k! } } } { ({ A }^{ T }) }^{ k }={ \lim _{ n->\infty }{ (\sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { { t }^{ k } }{ k! } } } { { A } }^{ k } })^{ T }={ (\lim _{ n->\infty }{ \sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { { t }^{ k } }{ k! } } } A^{ k } })^{ T }=({ { e }^{ A }) }^{ T }$$

Aber das wird ja nicht alles sein....
Außerdem fehlt mir da die eigentliche Begründung warum ich das darf bzw. warum das gilt

Answer 1

Doch das ist alles.

Wenn dir der beweis zu ungenau ist musst du halt noch jeden einzelnen deiner Schritte begründen, aber ich gehe jetzt mal davon aus, dass du diese Rechnung nicht grundlos so gemacht hast.

Comments

Okay danke :)

Was wäre denn die genaue Begründung der Schritte ? Dass außer A alles Skalare sind und man diese nicht transponieren kann bzw. unverändert bleiben ?

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"man diese nicht transponieren kann bzw. unverändert bleiben"Letzteres ist richtig, ersteres falsch. <frt rinzig halbwegs kritische Schritt ist das reinziehen des Limes.

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Wieso ist der Schritt kritisch ?
Ob man erst transponiert und dann den GW bildet oder andersrum dürfte doch egal sein, oder nicht ?

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Oder nicht. Wießt du a priori dass der grenzwert überhaupt existiert? Limes mit irgendwas vertauschen ist generell etwas das schiefgehen kann.

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Da ich das  Matrixexponential gegeben habe und daraus schließe dass der Grenzwert existiert müsste das in diesem Fall doch funktionieren.
Würde denn außer der Existenz noch etwas gegen ein Vertauschen sprechen bzw. gibt es noch etwas, das ich vielleicht übersehe was unbedingt erfüllt sein muss ?