Lineare Abbildung für Basen angeben

Question

Aufgabe:

Es sei \( L: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) die lineare Abbildung mit der folgenden Matrix \( A_{L} \) für die kanonische Basis von \( \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \).

\( A_{L}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 4 \end{array}\right) \)

Geben Sie die Matrix \( A_{L}^{\prime} \) von \( L \) für folgende neue Basen \( B:=\{(1,0,1),(2,1,0),(2,1,2)\} \) und \( C= (1,0,1,1),(0,1,1,1),(1,1,0,0),(1,0,-1,1) \) an. Notieren Sie dabei die Zwischenschritte zum Erhalt von \( A_{L}^{\prime} \)

Comments

Das funktioniert ähnlich mit der Hintereinander ausführung von Abbildungen. Man bildet dort zu erst die bekannten Matrizen auf und stellt dann die Gleichung nach der Unbekannten um.

$$ \begin{matrix} { R }^{ 3 } & \xrightarrow [ L ]{  }  & R^{ 4 } \\ { M }_{ B }^{ E }\uparrow &  & { M }_{ E }^{ C }\downarrow \\ R_{ B }^{ 3 } & \dashrightarrow & R_{ C }^{ 4 } \end{matrix}$$

Da würde man dann folgendes erhalten: $$ { M }_{ E }^{ B }= B^{-1} \text{ und } M_C^E = C \Rightarrow A_L^{'} = B^{-1} *A_l*C $$

Was aber noch nicht ganz stimmt. Da die Zweilen bzw. Spaltenrang nicht stimmten für die Matrixverknüpfung.

Vielleicht hat hier noch jemand eine Idee wo der Fehler steckt.