Basen der zugehörigen Eigenräume bestimmen

Question

Eigenwerte 

PA = 1 , 2 , -4

PB = -1 , 2

PC = 1 , ( √(2) + 2)  , ( -√(2) + 2 )

PD = 2

Bei 

Aλ₁=

I   -1x + 2y - 1 z = 0

II    3x - 3y         = 0

III -2x + 2y         = 0

(Ps habe dies auch für Aλ₂ , Aλ₃ , Bλ_1-2 , Cλ_1-3 , Dλ₁ gemacht)

nun weiß ich hier nicht wie ich weiter auf die Basen komme ?

währe für Hilfen echt dankbar

Answer 1

I   -1x + 2y - 1 z = 0

II    3x - 3y         = 0

III -2x + 2y         = 0    2. Gleichung * 2 + 3. Gleichung * 3 gibt

I   -1x + 2y - 1 z = 0

II    3x - 3y         = 0

                   0     = 0

Das ist bei der Bestimmung der Eigenvektoren immer in dieser Art.

Also  x beliebig  etwa   x= t

in die zweite Einsetzen gibt    y = t

beides in die 1. gibt

-t  + 2t - z = 0   also  z = t

Dann sehen alle Eigenvektoren so aus   (  t ; t ; t ) = t * ( 1;1;1)

also bildet ( 1; 1; 1) eine Basis dieses Eigenraums.

Comments

Meinst du ich müsste das ganze nun auch mit den anderen eigenwerten der matrix A machen oder reicht es aus nur eine Basis pro matrix zu zeigen

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Hab jetzt noch 7 aufgaben der gleichen art vor mir und verstehe den rechen weg so halbwegs könntest du mir das an noch einem Beispiel vorzeigen hoffentlich verstehe ich es dann vollkommen

I  -2x + 2y - 1z = 0

II  3x - 4y         = 0

III -2x + 2y        = 0

wäre dir echt dankbar :)

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bei III fehlt   -z 

I  -2x + 2y - 1z = 0

II  3x - 4y         = 0

III -2x + 2y  -z      = 0

Dann erste Gl - 2. Gl

(Du musst immer versuchen Stufenform herzustellen,

und wenn der Eigenwert richtig ist, erhältst du dann immer

mindestens eine Zeile   0=0, d.h. du kannst immer mindestens eine

der Variablen beliebig wählen, etwa t.

Hier also

I  -2x + 2y - 1z = 0

II  3x - 4y         = 0

III                    0 = 0
wähle x = t  also     3t - 4y = 0 also  y = (3/4)*t
in I
  -2t + (3/2)t - z = 0   also  z = 1/2 * t
Lösungen  (   t  ;   (3/4)*t   (-1/2)   * t  )   =  t *  ( 1 ;  3/4  ; - 1/2 )
Damit ist      ( 1 ;  3/4  ;  -1/2 )  oder besser ( 4;3;-2)
 eine Basis des Eig.raumes zum Eigenw. 2