für folgende Funktion ist die Ableitung zu berechnen:
$$y=4\cdot \sqrt { { x }^{ 2 }+\sqrt { x } } $$
Hier mein Lösungsansatz:
$$y=4\cdot { ({ x }^{ 2 }+{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } })^{ \frac { 1 }{ 2 } } $$
$$y=4\cdot { u }^{ \frac { 1 }{ 2 } }mit\quad u={ x }^{ 2 }+{ x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }$$
$$y'=2\cdot { u }^{ -\frac { 1 }{ 2 } }\cdot (2x+\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ -\frac { 1 }{ 2 } })$$
$$y'=2\cdot \frac { 1 }{ \sqrt { u } } \cdot (2x+\frac { 1 }{ 2 } \cdot \frac { 1 }{ \sqrt { x } } )=\frac { 2 }{ \sqrt { u } } \cdot (2x+\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } )$$
$$y'=\frac { 4x }{ \sqrt { u } } +\frac { 2 }{ \sqrt { u } \cdot 2\sqrt { x } } =\frac { 4x }{ \sqrt { u } } +\frac { 1 }{ \sqrt { u } \cdot \sqrt { x } } $$
$$y'=\frac { 4x\cdot \sqrt { x } +1 }{ \sqrt { u } \cdot \sqrt { x } } $$
rücksubstituiert:
$$y'=\frac { 4x\cdot \sqrt { x } +1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }+\sqrt { x } } \cdot \sqrt { x } } $$
Laut Lösungsblatt soll allerdings herauskommen:
$$y'=\frac { 4x\cdot \sqrt { x } +1 }{ \sqrt { { x }^{ 3 }+x\sqrt { x } } } $$
Wo liegt hier mein Fehler?
