Additionsverfahren, 2 Variablen, Gleichungssystem

Question

Hallo kann mir bitte jemand detailliert die Aufgabe

1/7x-3/4y=16

-3/14x+1/5y = -5,5

erklären?

Answer 1

Beim Additionsverfahren versuchst du die beiden Gleichungen geschickt zu addieren, sodass eine der beiden Variablen wegfällt. Dabei benutzt du, dass du die Gleichungen mit beliebigen Zahlen malnehmen kannst, ohne den Informationsgehalt zu verändern.

Nimmst du die erste Gleichung mit 3/2 mal, so haben in beiden Gleichungen die Terme in x dasselbe Vorzeichen und heben sich deshalb beim Addieren der Gleichungen heraus.

I.  1/7x - 3/4y = 16
II. -3/14x + 1/5y = -5,5

Erste Gleichung *3/2

I.  3/14 x - 9/8y = 24
II. -3/14x + 1/5y = -5,5

Addiere jetzt beide Gleichungen:

3/14 x - 3/14 x - 9/8y + 1/5y = 24 - 5,5

(1/5 - 9/8) y = 18,5 = 37/2

Bringe nun beide Brüche auf den selben Nenner:

1/5 - 9/8 = 8/40 - 45/40
= -37/40

Damit ist y = (37/2)/(-37/40) = -20

Um nun noch x zu bestimmen, benutzt man eine der beiden Gleichungen, z.B. die erste:

1/7x - 3/4*(-20) = 16

1/7x + 15 = 16

x = 7

Damit haben wir die eindeutige Lösung {x, y} = {7, -20} bestimmt.

Answer 2

$$\frac{1}{7}x-\frac{3}{4}y=16 | \cdot \frac{3}{2}$$

$$\frac{3}{14}x-\frac{9}{8}y=24$$

$$-\frac{3}{14}x+\frac{1}{5}y = -5,5 $$

Man addiert die 2 Gleichungen und hat:

$$\frac{1}{5}y-\frac{9}{8}y=-5.5+24 \Rightarrow -\frac{37}{40}y=18,5$$