Lagrange-Multiplikatoren

Question

komme einfach nicht weiter. Ich würde mich über die Lösung sehr freuen.

Hier mein Problem:

Verwenden Sie Lagrange-Multiplikatoren um das folgende Extremwertproblem mit Nebenbedingung zu lösen:

Der Rand der Schnittfläche der Ebene x+y+z=1 mit dem Zylinder x^2+y^2=1 wird durch eine Ellipse beschrieben. Bestimmen Sie die Punkte auf dieser Ellipse, die am Nächsten und am Weitesten vom Ursprung sind. Minimieren bzw. Maximieren Sie dazu die Funktion f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 unter durch die Ebenen- und Zylindergleichung gegebenen Nebenbedingungen. Belegen Sie die Art der lokalen Extrema durch geeignete Funktionsauswertungen.

Gruß

Answer 1

Der Rand der Schnittfläche der Ebene x+y+z=1 mit dem Zylinder x²+y²=1 wird durch eine Ellipse beschrieben. Bestimmen Sie die Punkte auf dieser Ellipse, die am Nächsten und am Weitesten vom Ursprung sind. Minimieren bzw. Maximieren Sie dazu die Funktion f(x,y,z)=x²+y²+z² unter durch die Ebenen- und Zylindergleichung gegebenen Nebenbedingungen. Belegen Sie die Art der lokalen Extrema durch geeignete Funktionsauswertungen.

Zwei Lagrange-Multiplikatoren a, und b gibt

L(x,y,z,a,b)=x²+y²+z²  + a*(x^2 +y^2 - 1) + b*(x+y++z-1)  

nach x,y,z,a  und b ableiten und 0 setzen gibt

2x +2ax +b =0     2y+2ay+b=0      2z+b=0         x^2 +y^2 - 1=0           x+y++z-1=0

mit b= - 2z  ergeben 1. 2. und 5.

2x +2ax - 2z =0     2y+2ay -2z =0       x+y++z-1=0

gibt für a ungleich -3

x= 1/(a+3)      y= 1 / (a+3)      z= (a+1)/(a+3)

Gibt mit der 4. Gleichung:

2/(a+3)^2 - 1 = 0 also a=-3 +wurzel(2) oder   a=  -3  - wurzel(2)

also x= wurzel(2) / 2 oder  x= - wurzel(2) / 2

und y=-wurzel(2) / 2 oder  y=-wurzel(2) / 2

und z=1 - wurzel(2)  oder z = z=1 + wurzel(2)

Und das gibt bei f(x,y,z) = 4 - 2wurzel(2)

oder 4+2*wurzel(2)

als Max bzw. Min.