Berechnen lokale und absolute Extrema. f(x) = (x3 -x + 2)e-x

Question

Ich habe mich mit dieser Aufgabe auseinandergesetzt aber ich komme leider nicht weiter :

Bestimme alle lokalen und absoluten Extrema der Funktion

$$f:\quad [0,\infty )\quad \longrightarrow \quad IR,\quad x\quad \mapsto \quad ({ x }^{ 3 }-x+2)exp(-x)$$

Durch die Produktregel leiten wir die Funktion ab:

$${ f }'(x)=(3{ x }^{ 2 }-1).{ e }^{ -x }+({ x }^{ 3 }-x+2).{ -e }^{ -x }$$

$$=(3x^{ 2 }-{ x }^{ 3 }+x-3).{ e }^{ -x }$$

Wir leiten die Funktion nochmal ab,und jetzt ist die Frage warum leiten wir die Funktion zweimal ab?:

$$f''(x)=(-3{ x }^{ 2 }+6x+1).{ e }^{ -x }+(3{ x }^{ 2 }-{ x }^{ 3 }+x-3).(-{ e }^{ -x })$$

$$=({ x }^{ 3 }-6{ x }^{ 2 }+5x+4).{ e }^{ -x }$$

Als nächster Schritt schreiben wir folgendes:

$$f'(x)=(-{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x-3).{ e }^{ -x }$$

$${ e }^{ -x }\neq 0$$

$$\frac { (-{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x-3).{ e }^{ -x } }{ { e }^{ -x } }$$

$$=(-{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x-3)$$

Warum haben wir hier die erste Ableitung genommen,könnten wir auch die zweite Ableitung nehmen und folgendes schreiben?

$$f'(x)=(-{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+x-3)=0$$

Ich gehe davon aus,dass wir die Nullstellen finden müssen aber ab hier brauche ich eure Hilfe.

Ich bedanke mich bei Rückmeldung:)

Comments

Dante112:

Wenn du Klartext statt TeX verwenden würdest, könnte ich rasch deinen Text kopieren und reinkommentieren.

So sagt mir mathelounge beim Kopieren, ich hätte mehr als 8000 Zeichen.

Nun halt ohne konkreten Bezug zu deinen Rechnungen.

Extremalstellen findest du bei den Nullstellen der ersten Ableitung.

Die zweite Ableitung kann dir zeigen, um welche Art von Extremalstelle es sich handelt, oder ob allenfalls nur ein Terrassenpunkt vorliegt.

Normalerweise ist die zweite Ableitung nicht nötig. Du kannst hier genauso gut die Funktionswerte an den Nullstellen der ersten Ableitung berechnen, die Punkte mal einzeichnen und gemäss deinen Kenntnissen über den globalen Verlauf deiner Kurve verbinden. Dann ist sofort klar, was Minima, Maxima, ... sind.

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Also,soweit ich verstanden habe,wir finden die Nullstellen durch die erste Ableitung und dann setzen wir die Werte der Nullstellen in der ersten Ableitung oder in der zweiten Ableitung oder in beiden ein?Mir ist nicht genau klar,wie man absolute,globale und lokale Extrema bestimmen kann.

Was ich gefunden habe:

$${ x }_{ 1 }=1$$

$${ x }_{ 2 }=-1$$

$${ x }_{ 3 }=3$$

$$f''({ x })\quad =\quad ({ x }^{ 3 }-6{ x }^{ 2 }+5x+4).{ e }^{ -x }$$

$$f''({ x }_{ 1 })\quad =\quad ({ (1 })^{ 3 }-6{ .(1 })^{ 2 }+5.(1)+4).{ e }^{ -1 }=4.{ e }^{ -1 }=1,4716703$$

$$f''({ x }_{ 2 })\quad =\quad ({ (-1 })^{ 3 }-6{ .(-1 })^{ 2 }+5.(-1)+4).{ e }^{ 1 }=-21,744$$

$$f''({ x }_{ 3 })\quad =\quad ({ (3 })^{ 3 }-6.(3)^{ 2 }+5.(3)+4).{ e }^{ 3 }=-0,4$$

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Wenn ich in der ersten Ableitung die Werte der Nullstellen einsetze,bekomme ich immer 0 als Ergebnis,bedeutet das,dass ich die Werte in der zweiten Ableitung einsetzen muss?

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Wo musst du denn die x-Werte einsetzen, wenn du die Funktionswerte haben möchtest?

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In der zweiten Ableitung? Dann bekommt man oben die  geschriebenen Werte.

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Nochmals: Funktionswerte erhältst du damit nicht!

Gleiche Frage: Wenn du die Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnen willst, wo setzt du x ein?

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Ich  weiß nicht ob ich die Frage richtig verstanden habe,also f(x) wird auf der y-Achse,und x Werte werden auf der x-Achse gezeigt.Also f(x) das Bild von x?

Answer 1

Nullstelle → - 1,52 !

Comments

Okay,es ist mir gerade eingefallen,wir leiten zweimal ab damit wir $${ ax }^{ 2 }+bx+c$$ mit pq Formel verwenden können und dann andere Nullstellen herausfinden können.Aber was ist mit der globalen,lokalen und absoluten Extrema?

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Brauchste die auch ?

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Ja :( Ich möchte wissen,ob wir die Werte der gefundenen Nullstellen in der ersten Ableitung oder in der zweiten Ableitung oder in beiden Ableitungen der Funktion einsetzen?Und mir ist leider nicht klar wie man die absolute,globale und lokale Extrema bestimmen kann :/

Answer 2

Zur Fortsetzung der Diskussion oben.

f(x) = (x³ -x + 2)e^-x

Schau dir mal das folgende Schaubild genau an:

Plotlux öffnen

x = 1x = -1x = 3f₁(x) = (x³-x+2)·e^(-x)

Comments

Also,die Nullstellen haben wir durch die erste Ableitung der Funktion gefunden,aber wenn man diese Nullstellen in der ersten Ableitung einsetzt,klar dass es immer 0 rauskommen wird.Deswegen war meine Überlegung,dass man die Nullstellen von der ersten Ableitung,in der zweiten Ableitung einsetzt.

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Du schreibst ja oben richtig:

"Ich  weiß nicht ob ich die Frage richtig verstanden habe,also f(x) wird in y-Richtung, und x Werte werden in x-Richtung eingezeichnet.Also ist f(x) das Bild von x?"

D. h. du musst die gefundenen x-Werte erst mal, bei f(x) einsetzen, um die ersten drei Punkte der Lila-Kurve am richtigen Ort zu zeichnen. 

Später kannst du alles links der y-Achse vergessen. 

Resultate deiner Rechnungen kannst du übrigens gut hiermit korrigieren:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E3-x%2B2%29*e%5E%28-x%29

Lies mal alles, was du dort siehst und überlege, was was ist.