Mittelpunkt von drei Geraden g: 2x+y=2; h: 2x-y=-2; f: y= -1

Question

ich habe im Moment das Problem, dass ich einfach nicht verstehe, wie ich den Mittelpunkt von drei Geraden bzw. den Radius berechnen soll.

Folgendes ist gegeben:

g: 2x+y=2

h: 2x-y=-2

f: y= -1

So, wenn ich diese nun einzeichne, erhalte ich folgende Koordinaten:

g: 2/2 h: -2/-2 und f: 0/-1

Nun, soll man laut der Aufgabe die Schnittpunkte im Koordinaten System makieren und den Mittelpunkt sowie den Radius ausrechnen und danach eine Bestimmungsleichung des Kreises mit den Koordinaten des Mittelpunktes und des Radius bestimmen.

Die Schnittpunkte sind: A: 0/2 B: -1.5/-1 C: 1.5/1

So, wenn ich das nun verbinde, gibt das ein Dreieck und ich darf diese Formel benutzen:

S= 1/3(A+B+C) = (Xa+Xb+Xc , Ya+Yb+Yc) / 3

Hier kommt bei mir S= (0 , 2/3) raus, was einigermaßen gut aussieht.

Radius wäre: $$ \xrightarrow { AM } \begin{pmatrix} 0 & \frac { 3 }{ 2 }  \\ \frac { 2 }{ 3 }  & -1 \end{pmatrix}=\quad \left\| \xrightarrow { AM }  \right\| =\quad \sqrt { { \frac { 2 }{ 3 }  }^{ 2 }+{ \frac { 3 }{ 2 }  }^{ 2 }+1\quad =\quad  } \quad 1.9 $$

Stimmt das nun, oder berechne ich das vollkommen falsch? Wenn ich das nach diesem System berechne: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreis3p.htm dann kommt dort Radius 1.81 raus.

Und wie stelle ich nun damit die Bestimmungsgleichung für den Kreis auf?

Wäre das einfach:

(x-0)^2+(y-2/3)^2 = 133/6?

Ich wäre sehr dankbar für eine Antwort :).

Comments

Hi, die Aufgabe sowie deine Bearbeitungen dazu sind reichlich wirr.
Wäre sicher nicht die schlechteste Idee, die Orginalaufgabenstellung mitzuteilen!

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Gegeben seien die Geraden g: 2x+y=2 und h: 2x-y=-2.

a) Zeichnen Sie die Geraden g und h in das Koordinatensystem. (6 P.)

b) Die Geraden g und h schneiden die y-Achse und die Gerade f: y = -1. Markieren Sie

die Schnittpunkte A, B und C im Koordinatensystem. Der Mittelpunkt M des Kreises

durch die Punkte A, B und C liegt auf der y-Achse. Berechnen Sie den Mittelpunkt

und geben Sie die Bestimmungsgleichung des Kreises mit den Koordinaten des

Mittelpunkts und dem Radius an. (10 P.)

Ich hoffe, dass es jetzt verständlich ist :). Sorry für die komische Beschreibung.

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Ok, ich denke, einer der drei Punkte ist nicht richtig.
Ich habe \(A(0|2)\), \(B(1.5|-1)\) und \(C(-1.5|-1)\).

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2x+y=2

h: 2x-y=-2

f: y= -1

~plot~ 2 - 2 * x ; 2*x + 2 ; -1 ~plot~

Ist das nicht die Berechnung des Umkreis eines Dreiecks ?

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Genau dasselbe habe ich ja auch, wenn man nun die Schnittpunkte nimmt und durch diese den Mittelpunkt mithilfe der Dreiecksformel errechnet, dann kommt man auf das Ergebnis von mir oben :). Und die Bestimmungsgleichung  wäre dann: (x-0)^2+(y-2/3)^2 = sqrt(133)/6

Ansonsten weiß ich auch nicht.

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Also die Bestimmungsgleichung dann für den Kreis. Aber  ich weiß nicht ob ich den Radius hier richtig berechne, aber ich denke schon xD.

Answer 1

und ich darf diese Formel benutzen:

S= 1/3(A+B+C) = (Xa+Xb+Xc , Ya+Yb+Yc) / 3

Hier kommt bei mir S= (0 , 2/3) raus, was einigermaßen gut aussieht. 

Sehr merkwürdig ...

... wozu dient diese Formel, wer hat Dir erlaubt sie benutzen und weshalb ist Dein Ergebnis "S" falsch ?

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So berechnet man den Kreis durch drei gegebene Punkte:

Allgemeine Kreisgleichung:$$ r^2 = (x_o-x)^2 +(y_o-y)^2$$
(0,2):$$ r^2 = (x_o-0)^2 +(y_o-2)^2$$(1,5,-1):$$ r^2 = (x_o-\frac 32)^2 +(y_o+1)^2$$(-1,5,-1):$$ r^2 = (x_o+\frac 32)^2 +(y_o+1)^2$$
Drei Unbekannte - drei Gleichungen - lösbar!

Comments

A(0,2):$$ r^2 = x_o^2 +y_o^2-4y_o+4$$B(1,5,-1):$$ r^2 = x_o^2-3x_0+\frac 94 +y_o^2+2y_o+1$$C(-1,5,-1):$$ r^2 = x_o^2+3x_0+\frac 94 +y_o^2+2y_o+1$$
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B-A:$$ 0 = -3x_0+\frac 94 +2y_o+1-(-4y_o+4)$$
$$ 0 = -3x_0+\frac 94 +2y_o+1+4y_o-4$$
$$ 0 = -3x_0+\frac 94 +6y_o-3$$
$$ 0 = 6y_o-3x_0+\frac 94 -\frac{12}4$$
$$ 0 = 6y_o-3x_0 -\frac{3}4$$
$$ 0 = 2y_o-x_0 -\frac{1}4$$
---C-A:$$ 0 = -3x_0+\frac 94 +2y_o+1-(-4y_o+4)$$$$ 0 = 2y_o+x_0 -\frac{1}4$$
Beide Glngen (B-A)+(C-A) addieren:
$$ 0 = 4y_o -\frac{2}4$$
$$ 4y_o =\frac{1}2$$
$$ y_o =\frac{1}8$$

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Radius ist übrigens $$r= \frac{15}8$$

Du hast die Formel nach  Prof. Dr. Hanebüchen verwendet und der Brünner hat gerundet.

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Vielen, vielen Dank für die Mühe, das Ergebnis hatte ich auch schon, aber sobald ich die Bestimmungsgleichung benutze:https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-0%29%5E2%2B%28y-%281%2F8%29%29%5E2+%3D+2.05 dann trifft der Kreis einen der Schnittpunkte nicht.

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Sorry, falscher Link: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x-0%29%5E2%2B%28y-%281%2F8%29%29%5E2+%3D+15%2F8 so :). Können Sie mir eventuell erklären, warum er einen der Schnittpunkte nicht schneidet?

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Hat sich erledigt, hab vergessen r^2 zu nehmen. Stimmt alles. Perfekt

Answer 2

Ausgangspunkt ist meine Grafik im ersten Kommentar
und die Erkenntnis das dies der Mittelpunkt des Umkreises des
Dreiecks ist.

Ich drehe das Dreieck um 90 ° gegen den Uhrzeigersinn. Für die
obere Hälfte ergibt sich folgende Skizze

Die Lösung ergibt sich über die Anwendung des Pythagoras.

Answer 3

Der in der Fragenstellung berechnete Punkt S ist nicht der Umkreismittelpunkt von ABC, sondern der Schwerpunkt (also der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden von ABC), und diese beiden Punkte sind natürlich verschieden (da ABC nicht gleichseitig ist). Den Umkreismittelpunkt kann man durch ein Gleichungssystem als Schnittpunkt der drei Seitenmittensenkrechten berechnen.