drei aufeinanderfolgenden Zahlen genau eine durch drei teilbar

Question

da ich neu in diesem Forum bin, weiß ich nicht ob hier der richtige Ort für diese Frage ist.

Momentan schreibe ich an meiner Seminararbeit über "Beweise in der Mathematik". (13 Klasse FOS)

Für einen Beweis über die Teilbarkeit von Primzahlzwillingen, habe ich den Hilfssatz, dass bei drei aufeinaderfolgenden Zahlen genau eine durch drei teilbar ist verwendet.
Bei dem Beweis dieses Hilfssatzes tue ich mir jedoch schwer.

Mein Ansatz:
1. Fall:
n / n +1 / n+2 werden betrachtet, n= 3m
--> nur die erste Zahl ist durch drei teilbar, bei den anderen ist jeweils ein Rest ( 1 bzw. 2).
2. Fall:
n+1 / n+2 / n+3 werden betrachtet, mit n =3m
--> nur die dritte Zahl ist durch drei teilbar, bei den anderen ist jeweils ein Rest.
3. Fall:
n+2 / n+3 / n+4 werden betrachtet, mit n = 3m
--> nur die zweite Zahl ist durch drei teilbar, bei den anderen ist jeweils ein Rest.

Ist der Ansatz was wert, oder geht er in die falsche Richtung ?
Ist er zu speziell und nicht allgemein genug ?

Bin über jeden Ratschlag froh.

Answer 1

Der Beweis ist nicht schlecht aber etwas umständlich. Ich würde es so machen

Seien die drei aufeinanderfolgenden Zahlen mit n, n+1 und n+2 bezeichnet.

Nun gilt ∃ x ≡ n (3) mit x ∈ {0, 1, 2}

Jedem x kann genau ein Element a der Menge {0,1,2} zugeordnet werden für das x+a ≡ 0 (3) gilt.

Wegen n+a ∈ {n, n+1, n+2} ist dann genau eine der drei aufeinanderfolgenden Zahlen durch 3 teilbar.

Müsste so stimmen.

LG Matheass

Answer 2

Ergänze noch so, dass man dein Resultat (Das du gern als Text so stehen lässt!) gleich sieht:

Mein Ansatz: 
1. Fall: 
n / n +1 / n+2 werden betrachtet, n= 3m 

3m / 3m+1 / 3m+2
--> nur die erste Zahl ist durch drei teilbar, bei den anderen ist jeweils ein Rest ( 1 bzw. 2). 
2. Fall: 
n+1 / n+2 / n+3 werden betrachtet, mit n =3m 

3m+1 / 3m+2 / 3m + 3 = 3(m+1) 
--> nur die dritte Zahl ist durch drei teilbar, bei den anderen ist jeweils ein Rest. 
3. Fall: 
n+2 / n+3 / n+4 werden betrachtet, mit n = 3m 

3m+2 / 3m+3 = 3(m+1) / 3m+4 = 3(m+1) + 1
--> nur die zweite Zahl ist durch drei teilbar, bei den anderen ist jeweils ein Rest. 

Answer 3

Hier du musst mehr " modulo " denken ( ===> Restklassenkörper F3 )  Seit unvordenklichen Zeiten bestehe ich darauf, dass eine Zahl mod 3 nur die drei Reste haben kann 0 so wioe +/- 1 . OBdA ( Beweis für Obdach Lose )  lauten drei aufeinander folgende Zahlen mod 3


     - 1  ;  0  ;  + 1