Berechnung des Integrales von f(x) = (cos(x))^2.

Question

verstehe den Lösungsweg der Aufgabe einfach nicht.

Man soll das Integral der folgenden Aufgabe berechnen:

$$\int { ({ \cos { (x) } ) }^{ 2 } } dx $$

1.) partielle Integration (versteh ich) $$\sin { (x)\cdot \cos { (x)-\int { \sin { (x)\cdot (-\sin { (x))dx }  }  }  }  } $$

2.) (versteh ich auch noch): $$\sin { (x)\cdot \cos { (x)+\int { { (\sin { (x)) }  }^{ 2 } }  }  } $$

3.) Das versteh ich nicht mehr. Warum steht auf einmal (1-cos(x)^2) ??. Wurde da nochmal partiel Integriert??

$$\sin { (x)\cdot \cos { (x)+\int { (1-{ \cos { (x) }  }^{ 2 })\quad dx }  }  } $$

4.) Diesen Schritt versteh ich dann überhaupt nicht. Woher kommt am Anfang die 2 her. Und warum wird dann nur über 1 integriert??

$$2\int { ({ \cos { (x)) }  }^{ 2 }dx=sin(x)\cdot cos(x)+\int { 1\quad dx }  } $$

Bitte um Hilfestellung und Erklärung.

Answer 1

Zu 3) Man möcte wieder den Kosinus im Integranden stehen haben, in der Hoffnung, das neue Integral mit dem alten Integral zusammenfassen zu können. Dazu wurde die Pythagoras-Beziehung benutzt.

Zu 4) Du hast eine Gleichung zwischen dem ersten und dem letzten Term. Die wird nach dem gesuchten Integral aufgelöst.

Answer 2

3.) . Warum steht auf einmal (1-cos(x)^2) ??. Wurde da nochmal partiel Integriert??

nein.

Es gilt allgemein:

sin^2(x) +cos^2(x)=1 (Trigonometrischer Pythagoras)

sin^2(x) = 1 -cos^2(x)

4.) Diesen Schritt versteh ich dann überhaupt nicht. Woher kommt am Anfang die 2 her. Und warum wird dann nur über 1 integriert??

Das Integral wird aufgespalten in:
int  (1 -cos^2(x)) dx = int 1 dx -int cos^2(x) dx

Du hast das Integral cos^2(x)dx  jetzt 2 mal , einmal auf der linken Seite und einmal auf der rechten Seite.
Du addierst +cos^2(x) auf beiden Seiten .
Dadurch bekommst Du die 2  auf der linken Seite , das Integral auf der rechten Seite fällt weg.

Comments

Ahhhh. Danke schön!!!!!
Hab ich alles verstanden. :-)