Charakteristisches Polynom auflösen

Question

Hallo

ich weiß nicht wie ich das Polynom auflösen kann und ob es so stimmt. Polynomdivision wäre mein Ansatz aber ich finde keine Nullstelle.Danke

Answer 1

Du willst

(4-k)(6-k)(-k) - (-4)(-4)(6-k)   |(6-k) ausklammern!

= (6-k)((4-k)(-k) - (-4)(-4))

= (6-k)(-4k + k^2 - 16)        . Eine Nullstelle ist k= 6.

Weitere Nullstellen bekommst du allenfalls via

k^2 - 4k - 16 = 0.

Comments

k₁= 6  k₂=6,89 k₃= -2,89

Die andern beiden k hab ich mit der p-q-Formel berechnet. Also ist meine Matrix indefinit.

In den Übungslösungen steht allerdings:

Berechnet man die Unterminoren, so erhält man für diese 4, 24, sowie -96. Damit ist sie indefinit.

Leider steht dort nicht der genaue Weg. Wie kommt man den auf die Lösung?

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Hab ein Beispiel gefunden und damit komme ich auch auf die Lösung.

Jetzt ist meine Frage sollte die ich die Eigenwerte der Matrix immer lieber mit dem Charakteristischen Polynom lösen oder kann man auch immer die Unterminoren berechnen. Weil das ist ja wesentlich einfacher.

Danke !

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Ich mach das mal mit der abc-Formel

k² - 4k - 16

a=1, b=-4, c=-16

k_1,2 = 1/2 * (4 ± √(16 + 96)) 

Das gibt auch noch 2 Lösungen. vermutlich deine. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=%284-k%29%286-k%29%28-k%29+-+%28-4%29%28-4%29%286-k%29

Mit den Unterminoren kenn ich mich nicht aus. So wie du die Aufgabe angegangen hast, berechnest du die Eigenwerte einer Matrix. 

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Ich sehe gerade, was du vielleicht machst.

Mein erster Schritt

(4-k)(6-k)(-k) - (-4)(-4)(6-k)   |(6-k) ausklammern!

= (6-k)*((4-k)(-k) - (-4)(-4))

teilt die Determinante vielleicht auch in die Determinanten "Unterminoren" auf.

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"Jetzt ist meine Frage sollte die ich die Eigenwerte der Matrix immer lieber mit dem Charakteristischen Polynom lösen oder kann man auch immer die Unterminoren berechnen. Weil das ist ja wesentlich einfacher."

Wie du daraus nun auf die Eigenwerte kommen willst, ist mir ein Rätsel.

Bisher hast du doch nur Vorzeichen (?)

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Die Eigenwerte muss man dann doch nicht mehr berechnen. Ich will ja nur feststellen ob meine Matrix definit, indefinit, usw. ist.

Was ja in dem Fall indefinit ist weil wir 2 Mal > 0 und einmal einen negativen Wert haben.

Die Matrix ist eigentlich eine Hesse-Matrix mit einem eingesetzen Extrema.

Answer 2

Bestimme die Determinante per Entwicklung nach der 2.Spalte, so ergibt sich:

$$(6-\lambda ) \begin{vmatrix} 4 -\lambda & -4 \\ -4 & -\lambda \end{vmatrix}$$ und du hast eine Nullstelle ohne faktorisieren