Parameter eliminieren und explizite Form der Funktion herstellen

Question

Ich habe bereits einige Aufgaben dieser Form gemacht (auch richtig).

Jedoch bekomme ich bei diesen beiden Aufgaben nicht das richtige Ergebnis heraus,

was daran liegen mag, dass ich irgendeine Regel im Bezug auf sin/cos nicht beachte...

Wäre nett wenn mir jemand den Weg aufzeigen könnte wie man diese Aufgabe richtig angeht bis zum richtigen Ergebnis.

Aufgabe :

Eliminieren Sie den Parameter und stellen Sie die geforderte explizite Form

der Funktion  y=f(x)  her.

c)   x(α)=3sin(α) , y(α)=3cos(α)

d)   x(u)=4sin²(u) , y(u)=5sin(2u)

Musterlösung:

c)   y_1,2=±√(9-x²)

d)   y=5√(x-(x²/4))

Answer 1

x(α)=3sin(α) , y(α)=3cos(α)

x(α)/3=sin(α) , y(α)/3=cos(α)

Weil sin^2(a) + cos^2(a) = 1 ==> 

(x/3)^2 + (y/3)^2 = 1

Das noch nach y auflösen. 

 (y/3)^2 = 1 - (x/3)^2

y^2 = 9 - x^2

y = ± √(9-x^2) 

Comments

Ideen zu d)

d)   x(u)=4sin²(u) , y(u)=5sin(2u)

Soll geben: y=5√(x-(x²/4)) 

Benutze ein Additionstheorem. Vielleicht:

sin(2u) = 2sin(u)cos(u) 

 Alternative? Schau dir auch cos(2u) mal genau an.

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Danke ! c) hab ich schonmal verstanden !
Aber für d) bekomme ich jetzt statt das richtige, nur ein Ergebnis heraus das der Lösung ähnlich ist:
y=√(5²-(x/4)²⁾ = 5-(x/4)

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Der letzte Schritt ist sicher nicht gestattet.

Grund

√(25 - 16) ≠ 5 - 4

Zeig mal deine Rechnung bei d) genau. Das ist vermutlich nur ein kleiner Fehler.

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x(u)=4sin²(u) , 

x(u)/4 = sin^2(u) 

y(u)=5sin(2u) = 10sin(u)cos(u) 

y^2(u) = 100sin^2(u)cos^2(u) 

y^2(u) = 25x(u) cos^2(u) 

y^2(u) = 25x(u) (1-sin^2(u) )

y^2(u) = 25x(u)(1 - x(u)/4) 

y = ±5√(x(1-x/4)) 

y = ±5√(x-x^2/4)) 

Vergleich mit:  y=5√(x-(x²/4)) 

ok. 

Beachte: Mit dem Quadrieren können Vorzeichenfehler reingerutscht sein, die du (wenn nötig) mit Fallunterscheidungen wegbringst.

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hab es jetzt nochmal versucht aber trotzdem noch nicht ganz das richtige heraus

d)    x(u)=4sin²(u) ---> x/4=sin²(u)

y(u)=5sin(2u) ---> y/5=sin(2u)

(x/4)⁴+(y/5)² =1     |nach y umstellen

y=√(5²-(x/4)⁴)     ---> Falsch

!!! Jetzt erst deinen neuen Kommentar gesehen, muss ich mir jetzt erstmal anschauen, danke!!!

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Du hast gerade eine neue (leider falsche) Formel erfunden.

x/4=sin²(u)

y(u)=5sin(2u) ---> y/5=sin(2u)

nämlich benutzt du (sin^2(u))^2 + (sin(2u))^2 = 1

Das ist nicht der trigonometrische Pythagoras. 

Ich hoffe, du kommst mit meiner Rechnung im Kommentar oben klar. 

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Jetzt hab ich's !! Super, danke !! die Umformungen

sin(2u)=2sin(u)cos(u)   und   cos²(u)=1-sin²(u)

haben mir gefehlt um das richtige Ergebnis heraus zu bekommen.

Vielen dank nochmal für die schnelle und verständliche Hilfe :-)

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Bitte. Gern geschehen.

Such mal die Formeln, die dir gefehlt haben hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie#Allgemeine_Trigonometrie_in_der_Ebene

Schau, was unter und über ihnen steht. - Kann sein, dass du das bei der nächsten Aufgabe noch brauchen kannst.

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okay, lasse ich vorsichtshalber mal offen ! danke :)