Konvergiert die Folge (an)n∈ℕ? Wenn ja, berechnen Sie ihren Grenzwert: a1:=3 und a_n+1:=2an - 1 für n≥1.

Question

Entscheiden Sie, ob die Folge (a_n) n∈ℕ konvergiert und berechnen Sie gegebenenfals ihren Grenzwert:

$$a _ { 1 } : = 3 \text { und } a _ { n + 1 } : = 2 a _ { n } - 1 \text { für } n \geq 1$$

Answer 1

Wegen  a_n ≥ n + 1  für alle  n  konvergiert die Folge nicht.
Beweis per Induktion über  n.
Induktionsanfang: Für  n = 1  ist  a_n = 3 ≥ 2 = n + 1.
Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein  n, für das die Behauptung gilt.
Zu zeigen ist, dass die Behauptung für  n + 1  gilt.
Induktionsschritt: Für  n ≥ 1  gilt nach Induktionsvoraussetzung:
a_n+1 = 2·a_n - 1 ≥ 2·(n + 1) - 1 = 2·n + 1 ≥ (n + 1) + 1.

Comments

Mhhh das iseht irgendwie ein wenig umständlicb aus. Wie wäre es denn hiermit:

2a_n-1 ist eine Teilfolge der konstanten und nicht beschränkten Folge (bn)= n.

Es werden duch 2a_n-1 nur ungerade Zahlen erzgeugt.

Somit ist diese Folge auf jeden fall divergent, sie ist sogar bestimmt divergent, da es für jedes ε > 0 ein n₀ gibt, sodass alle ELemente für n>n₀ größer sind als ε.

Damit ist die Folge insgesamt eindeutig nicht konvergent. Sie ist bestimmt divergent.