0 Daumen
840 Aufrufe

Aufgabe: (a)   an=8n2+7n+14/-8n3+9n2+5n+11 +eπ. n(n+1) i

(b) an=(3n+4i)2n/262n.(-3+4i) 2n


Problem/Ansatz:Untersuchen on die Folge( an) n∈ℕ Konvergiert und brechnen ggf. Ihren Grenzwert

Avatar von
π. n(n+1) i

Steht da nach dem π wirklich ein mal oder eventuell ein plus?

..   +eπ.n(n+1) i So steht das nach dem +

1 Antwort

0 Daumen

Hi. Für die a) kannst du die Eulersche Formel verwenden.

Eulersche Formel: eiy=cos(y)+isin(y), fu¨yR e^{iy} = cos(y) + i \cdot sin(y), \text{ für } y \in \mathbb{R}
eπn(n+1)i=cos(πn(n+1))+isin(πn(n+1)) e^{\pi \cdot n(n+1)i} = cos(\pi \cdot n(n+1)) + i\cdot sin(\pi \cdot n(n+1))
  n(n+1) ist immer gerade fu¨r jedes nN \rightarrow\; n(n+1) \text{ ist immer \textit{gerade} für jedes } n\in\mathbb{N}
  cos(πn(n+1))=1,  nN \rightarrow\; cos(\pi \cdot n(n+1)) = 1,\; \forall\,n\in\mathbb{N}
  sin(πn(n+1))=0,  nN \rightarrow\; sin(\pi \cdot n(n+1)) = 0,\; \forall\,n\in\mathbb{N}
  eπn(n+1)i=1,  nN \rightarrow\; e^{\pi \cdot n(n+1)i} = 1,\; \forall\,n\in\mathbb{N}
  an=8n2+7n+148n3+9n2+5n+11+1 \rightarrow\; a_n = \dfrac{8n^2 +7n + 14}{-8n^3 +9n^2 +5n + 11} + 1
  limnan=limn(8n2+7n+148n3+9n2+5n+11+1)=limn8n2+7n+148n3+9n2+5n+11  +  limn1=0+1=1 \begin{array}{lll} \rightarrow\;\lim\limits_{n\to\infty} a_n & = & \lim\limits_{n\to\infty} \biggl(\dfrac{8n^2 +7n + 14}{-8n^3 +9n^2 +5n + 11} + 1\biggr)\\ & = & \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{8n^2 +7n + 14}{-8n^3 +9n^2 +5n + 11} \; + \; \lim\limits_{n\to\infty} 1\\ & = & 0 + 1\\ & = & 1\\ \end{array}

Und für die Aufgabe b) einfach die 3. binomische Formel anwenden:
  an=(3+4i)2n262n(3+4i)2n=((3+4i)(3+4i)26)2n=(2526)2n=(2526)2n \begin{array}{lll} \rightarrow\; a_n & = & \dfrac{(3+ 4i)^{2n}}{26^{2n}}\cdot (-3+4i)^{2n}\\ & = & \Biggl(\dfrac{(3+ 4i)\cdot(-3+4i)}{26}\Biggr)^{2n}\\ & = & \biggl(\dfrac{-25}{26}\biggr)^{2n}\\ & = & \biggl(\dfrac{25}{26}\biggr)^{2n}\\ \end{array}
  limnan=limn(2526)2n=0\rightarrow\; \lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} \biggl(\dfrac{25}{26}\biggr)^{2n} = 0

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage