Eigenvektor zum Eigenwert Aufgabe Berechnung

Question

Ich komme bei den bei der Berechnung der Eigenvektoren nicht draus wie in der Lösung.

a) bei der Berechnung des Eigenvektors v2 zum Eigenwert 3 bekomme ich aus der letzten Matrix ja:

x-y = 0 und z = 0 => daraus folgt x=y und z = 0 , wenn z = t gilt : v2= t* ( 0, 0, 1) ; Aber wieso ist in der Lösung v2= t* ( 1, 1, 0) ???

b) dasselbe hier; hier komme ich auf dasselbe, da x und y keinen Zusammenhang mit z (bzw. t) haben).....

Answer 1

Sei \(v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\mathbb R^3\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda=3\).
Bereits bekannt ist \(x=y\) und \(z=0\). Es folgt \(v=\begin{pmatrix}y\\y\\0\end{pmatrix}=y\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\).

Comments

und beim 2. wieso ist dort: t=z ; z ist doch 0 ??

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Bei b) ist \(z=t\in\mathbb R\) beliebig und \(x=y=0\), also  \(v=\begin{pmatrix}0\\0\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\).

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danke sehr!!! aber wieso ist z hier beliebig und vorher nicht ?

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Bei a) lautet die zweite Gleichung \(0x+0y+1z=0\), woraus \(z=0\) folgt.
Bei b) gibt es keine Bedingungen an \(z\).

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b) verstehe ich aber bei a) was ist denn t? ist z = t oder x, y ? und wieso ist x=y = 1t, und nicht zB. 2 t oder 3 t, da ja y=x gilt, spielt dies doch keine rolle?

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Bei a) ist \(z=0\) und \(x=y\). Du kannst entweder \(x\) oder \(y\) beliebig wählen, das Ergebnis bleibt gleich.