Hallo Anderson!
Aufgabe: Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -x^4+2x^2\)
a) Zeigen Sie, dass für eine Nullstelle \(a\) gilt: \(f'(a) = - 4\sqrt2\).
Geben Sie die Steigung in den weiteren Nullwerten an.
b) Bestimmen Sie alle Stellen mit Steigung null exakt.
Beschreiben Sie die zugehörigen Punkte.
zu a) Wir faktorisieren den Funktionsterm zu
$$ f(x) = -x^4+2x^2 = -x^2\cdot\left(x^2-2\right) = -x^2\cdot\left(x+\sqrt2\right)\cdot\left(x-\sqrt2\right) $$und bestimmen die drei Nullstellen durch Ablesen als
\(x=0\), \(x=-\sqrt2\) und \(x=\sqrt2\).
Die erstgenannte ist eine doppelte Nullstelle, die beiden anderen einfach.
An Mehrfachnullstellen ist auch die Steigung null, es ist also \(f'(0)=0\).
Weiter bilden wir die erste Ableitung, faktorisieren ihren Funktionsterm zu
$$ f'(x) = -4x^3+4x = -4x\cdot\left(x^2-1\right) = -4x\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x-1\right) $$und identifizieren die drei einfachen Nullstellen (Teillösung zu b)) als
\(x=0\) (wussten wir schon), \(x=-1\) und \(x=1\).
Aufgrund des Kurvenverlaufs kommt für das gesuchte \(a\) nur \(a=\sqrt2\) in Frage.
Nachrechnen bestätigt \(f'(\sqrt2) = -4\cdot\sqrt2\cdot\left({\sqrt2}^2-1\right) = -4\cdot\sqrt2.\)
Wegen der Symmetrie zur \(y\)-Achse muss weiter \(f'(-\sqrt2) = 4\cdot\sqrt2\) sein.
Fortsetzung zu b):
Die drei einfachen Nullstellen der ersten Ableitung \(f'\) (s.o.) sind die
Extremstellen der Funktion \(f\). Aufgrund des Kurvenverlaufs (nach unten offene Form)
ist \((0|0)\) der relative Tiefpunkt und \((-1|1)\) und \((1|1)\) die absoluten Hochpunkte von \(f\).
